Question

2010盞燈排成一排，開始都亮著．第一次從左邊第一盞燈開始，每隔一盞燈拉一下開關(guān)（即拉左數(shù)第1，3，5，…，2009盞）．第二次從右邊第一盞燈開始，每隔兩盞燈拉一下開關(guān)．第三次又從左邊第一盞燈開始，每隔三盞燈拉一下開關(guān)．三次都拉到的燈有

167

盞，亮著的還有

1174

盞．

Answer 1

分析：第一次拉開關(guān)，所有編號(hào)為奇數(shù)的燈被拉一次，第二次拉開關(guān)，所有編號(hào)能被3整除的燈被拉了一次，第三次拉開關(guān)，所有編號(hào)為“被4除余1的數(shù)”的燈被拉了一次，這樣就會(huì)得出一個(gè)規(guī)律，先求出2、3、4的最小公倍數(shù)為12，然后分析從1到12號(hào)燈三輪過后的亮滅情況，因?yàn)槊?2盞燈的情況為一個(gè)周期，被拉過三次的有只有9號(hào)，被拉過兩次的有（1、3、5）號(hào)三盞，被拉過一次的有（6、7、11、12）四盞，剩下的四盞沒有被拉過．因?yàn)闊舯焕�過偶數(shù)次（0是偶數(shù)）就會(huì)亮著，所以有3+4=7盞燈亮著．從13號(hào)到24號(hào)情況和1到12是一樣的．接下來2010÷12=167（個(gè)周期）…6（個(gè)號(hào)）剩下的6個(gè)號(hào)亮滅情況跟1到6號(hào)是一樣的．所以，這6盞燈里面沒有被拉過三次的，其中只有2010號(hào)燈被拉過1次，其他5盞都被拉過偶數(shù)次，所以這6盞燈有5盞亮著．三次都拉到的燈有167盞；亮著的燈有167×7+5=1174盞．

解答：解：由分析知：
先求出2、3、4的最小公倍數(shù)為12，
然后分析從1到12號(hào)燈三輪過后的亮滅情況，因?yàn)槊?2盞燈的情況為一個(gè)周期，被拉過三次的有只有9號(hào)，被拉過兩次的有（1、3、5）號(hào)三盞，被拉過一次的有（6、7、11、12）四盞，剩下的四盞沒有被拉過，
因?yàn)闊舯焕�過偶數(shù)次（0是偶數(shù)）就會(huì)亮著，所以有3+4=7盞燈亮著，
來2010÷12=167（個(gè)周期）…6（個(gè)號(hào)），剩下的6個(gè)號(hào)亮滅情況跟1到6號(hào)是一樣的，
所以，這6盞燈里面沒有被拉過三次的，其中只有2010號(hào)燈被拉過1次，其他5盞都被拉過偶數(shù)次，所以這6盞燈有5盞亮著，
三次都拉到的燈有167盞；亮著的燈有167×7+5=1174盞；
故答案為：167，1174．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了整數(shù)的整除性問題，解題時(shí)根據(jù)數(shù)的整除，首先分別求出2、3、4的最小公倍數(shù)，1到12號(hào)燈三輪過后的亮滅情況是一個(gè)周期，然后進(jìn)行解答即可．