Question

一個正整數恰有8個約數，它的最小的3個約數的和為15，且這個四位數的一個質因數減去另一個質因數的5倍等于第三個質因數的2倍，這個數是

 

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Answer 1

考點：約數個數與約數和定理

專題：整除性問題

分析：它的最小的3個約數的和為15，1肯定是其中一個約數，另兩個最小的約數之和是14，然后通過列舉，推出它的最小的3個約數只能是：1，3，11；它是4位數，所以，3和它本身肯定也是它的約數，所以已經有5個約數了，其中有兩個質因數3，11，另外它至少有3個質因數，設第3個質因數為x．那么它的約數有：1，3，11，33，x，3×x，11×x，這個數本身，剛好8個，所以有 x-5×3=2×11或者 x-5×11=2×3，由此可以得出x=37或61；由此即可得出結論．

解答： 解：它的最小的3個約數的和為15，1肯定是其中一個約數，另兩個最小的約數之和是14，
可能是：7、7（不符），6、8（如果是這兩個，那2也是，不符），
5、9（如果是這兩個，那3也是，不符），4、10（如果是這兩個，那2也是，不符），3、11（符合），
所以可以推出它的最小的3個約數只能是：1，3，11；它是4位數，所以，33和它本身肯定也是它的約數，所以已經有5個約數了，其中有兩個質因數3，11，另外它至少有3個質因數，設第3個質因數為x．那么它的約數有：1，3，11，33，x，3×x，11×x，這個數本身，剛好8個，所以有x-5×3=2×11或者 x-5×11=2×3，由此可以得出x=37或61；
所以它的約數有：1，3，11，33（3×11），37，111（3×37），407（11×37），1221（3×11×37）
或 1，3，11，33（3×11），61，183（3×61），671（11×61），2013（3×11×61）
所以答案應該是1221或2013；
故答案為：1221或2013．

點評：此題考查了約數個數和約數和定理，根據題意，進行推導，得出它的最小的3個約數是：1，3，11，是解答此題的關鍵．