Question

【題目】如圖，正方形所在平面與四邊形所在平面互相垂直， 是等腰直角三角形， ， ， .

（1）求證： 平面；

（2）設線段的中點分別為，求異面直線與所成角的正弦值；

（3）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) （3） 45°

【解析】試題分析：

（1）要證明線面垂直，就要證線線垂直，由面面垂直的性質定理可得BC⊥平面ABEF，從而有AB⊥EF．又由平幾知識得EF⊥EB，從而可得線面垂直，也即得面面垂直；

（2）求異面直線所成的角，一般要作出這個角，為此取BE中點N，可證MN與PC平行且相等，從而得平行四邊形，有PM與CN平行，因此只要在中求出的正弦值即可；

（3）求二面角E－BC－D，就要找到它的平面角，由（1）的證明知∠EBA就是所要作的平面角，這個角是45°，因此二面角為45°．

試題解析：

（1）因為平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD，BC⊥AB，

平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以BC⊥平面ABEF．所以BC⊥EF．

因為△ABE為等腰直角三角形，AB=AE，

所以∠AEB=45°又因為∠AEF=45°，

所以∠FEB=45°+45°=90°，即EF⊥BE．

因為BC平面BCE，BE平面BCE，BC∩BE=B，所以EF⊥平面BCE．

（2）取BE的中點N，連結CN，MN，

則且，

所以PMNC為平行四邊形，所以PM∥CN．

所以∠NCB為PM與BC所成角（或其補角）

正方形ABCD所在平面與四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，設AE=a，BN= ．BC=a，所以NC= ，在直角三角形NBC中， ．

（3）由（1）知BC⊥平面ABEF．所以BC⊥AB, BC⊥EB, 因此，∠EBA為二面角E﹣BC﹣D的平面角．又因△ABE是等腰直角三角形，所以∠EBA=45°

故二面角E﹣BC﹣D的大小為45°．