Question

本屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽第1試于3月15日舉行，觀察下面的一列數(shù)：

1

1

，

1

2

，

2

1

，

1

3

，

2

2

，

3

1

，

1

4

，

2

3

，

3

2

，

4

1

，

1

5

，

2

4

，

3

3

，

4

2

，

5

1

…根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，從左向右數(shù)，

3

15

是第

139

個數(shù)．

Answer 1

分析：通過觀察所給的數(shù)列，我們可以發(fā)現(xiàn)，在這一列數(shù)中，分子、分母的和為2的有1個，分子、分母的和為3的有2個，分子、分母的和為4的有3個，依此類推…，我們可以把分子、分母的和相同的數(shù)劃分在一組；這樣就會發(fā)現(xiàn)，第一組是1個數(shù)，第2組數(shù)是2個數(shù)，第3組數(shù)是3個數(shù)，而且分子、分母的和減1的得數(shù)，就是該分?jǐn)?shù)所在組的序列數(shù)；

3

15

的分子與分母和是18，那么該分子所在的組數(shù)就是18-1=17（組），在它的前面還有16組數(shù)，這16組數(shù)因是等差數(shù)列，所以很容易就能求出前16組數(shù)中所有分?jǐn)?shù)的個數(shù)是（16+1）×16÷2=136（個），而

3

15

在分子、分母和為18一組中，前面還有

1

17

，

2

16

 兩個數(shù)，位居第3，由此即可得出答案．

解答：解：因為，在這一列數(shù)中，分子、分母的和為2的有1個，
分子、分母的和為3的有2個，
分子、分母的和為4的有3個，依此類推…，
我們可以把分子、分母的和相同的數(shù)劃分在一組；
這樣就會發(fā)現(xiàn)，第一組是1個數(shù)，第2組數(shù)是2個數(shù)，第3組數(shù)是3個數(shù)，
而且分子、分母的和減1的得數(shù)，就是該分?jǐn)?shù)所在組的序列數(shù)；

3

15

的分子與分母和是18，那么該分子所在的組數(shù)就是：18-1=17（組），
在它的前面還有16組數(shù)，這16組數(shù)因是等差數(shù)列，
所以很容易就能求出前16組數(shù)中所有分?jǐn)?shù)的個數(shù)是：（16+1）×16÷2=136（個），
而

3

15

在分子、分母和為18一組中，前面還有

1

17

，

2

16

 兩個數(shù)，位居第3，
所以，

3

15

在這一整列數(shù)的個數(shù)為：136+3=139（個），
故答案為：139．

點評：解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)所給出的數(shù)列，找出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律，解答即可．