Question

一個圓柱體木材，如果削成最大的長方體，所得長方體比原來減少了57cm³，再把這個相對的面是正方形的長方體木料，削去多少cm³又成為最大的圓柱體？

Answer 1

考點：簡單的立方體切拼問題

專題：立體圖形的認識與計算

分析：設最外圓半徑為R，大圓面積：π×R×R，大圓內(nèi)最大正方形面積：4×（

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×R×R），
（把正方形看作由四個小三角形構成，直角邊都是半徑R），
大圓：正方形=（π×R×R）：（4×（

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2

）×R×R）=π：2=2π：4 ①
再看正方形內(nèi)最大圓情況：設正方形邊長為2r，則其面積為：2r×2r，正方形內(nèi)最大圓面積：π×r×r
正方形：小圓=（2r×2r）：（π×r×r）=4：π ②
由①、②，可知三者關系：大圓：正方形：小圓=2π：4：π
上面原理應用：
大圓：正方形：小圓：（大圓-正方形）：（正方形-小圓）=2π：4：π：（2π-4）：（4-π） ③，由此可得削去的部分為：57÷（2π-4）×（4-π），解答即可．

解答： 解：
先看圓內(nèi)最大的正方形（ABCD）情況：
設最外圓半徑為R，大圓面積：π×R×R，
大圓內(nèi)最大正方形面積：4×（

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×R×R），
（把正方形看作由四個小三角形構成，直角邊都是半徑R），
大圓：正方形=（π×R×R）：（4×（

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）×R×R）=π：2=2π：4 ①
再看正方形內(nèi)最大圓情況：
設正方形邊長為2r，則其面積為：2r×2r
正方形內(nèi)最大圓面積：π×r×r
正方形：小圓=（2r×2r）：（π×r×r）=4：π ②
由①、②，可知三者關系：
大圓：正方形：小圓=2π：4：π
上面原理應用：
大圓：正方形：小圓：（大圓-正方形）：（正方形-小圓）=2π：4：π：（2π-4）：（4-π） ③
回到題中，第一次由圓變正方形減小部分，就是③式中的（大圓-正方形）
第二次由正方形變圓減少部分，就是③式中的（正方形-小圓）
于是減少的面積應為：（算出每份，再乘以變化份數(shù)，就是減少面積）
57÷（2π-4）×（4-π）
=57÷2.28×0.86
=25×0.86
=21.5（立方厘米）
答：削去21.5cm³又成為最大的圓柱體．

點評：解答此題的關鍵是通過推理得出大圓：正方形：小圓：（大圓-正方形）：（正方形-小圓）=2π：4：π：（2π-4）：（4-π），是解答此題的關鍵．