Question

已知矩形紙片ABCD，AB=2，AD=1，將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合．（1）如果折痕FG分別與AD、AB交與點(diǎn)F、G（如圖1），AF=

2

3

，求DE的長(zhǎng)； （2）如果折痕FG分別與CD、AB交與點(diǎn)F、G（如圖2），△AED的外接圓與直線BC相切，求折痕FG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AF，AD的長(zhǎng)可以求得DF的長(zhǎng)，根據(jù)折疊知EF=AF，再根據(jù)勾股定理即可計(jì)算得到DE的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)直角三角形的外接圓的圓心是斜邊的中點(diǎn)，則折痕與AE的交點(diǎn)O即是其外接圓的圓心．設(shè)DE=x，根據(jù)三角形ADE的中位線定理求得OM=

1

2

x，進(jìn)一步表示出ON的長(zhǎng)．根據(jù)直線和圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑得到AE=2ON，在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理列方程求解．再根據(jù)直角三角形FOE相似于直角三角形ADE，求得OF的長(zhǎng)，從而根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到FG=2OF．

解答：解：（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=

2

3

，∠D=90°．
根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得EF=AF=

2

3

．
所以DF=AD-AF=

1

3

．
在Rt△DEF中，DE=

3

3

．

（2）設(shè)AE與FG的交點(diǎn)為O．
根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得AO=EO．
取AD的中點(diǎn)M，連接MO．
則MO=

1

2

DE，MO∥DC．
設(shè)DE=x，則MO=

1

2

x，
在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，
所以AE為△AED的外接圓的直徑，O為圓心．
延長(zhǎng)MO交BC于點(diǎn)N，則ON∥CD．
所以∠CNM=180°-∠C=90°．
所以O(shè)N⊥BC，四邊形MNCD是矩形．
所以MN=CD=AB=2．所以O(shè)N=MN-MO=2-

1

2

x．
因?yàn)椤鰽ED的外接圓與BC相切，
所以O(shè)N是△AED的外接圓的半徑．
所以O(shè)E=ON=2-

1

2

x，AE=2ON=4-x．
在Rt△AED中，AD²+DE²=AE²，
所以1²+x²=（4-x）²．
解這個(gè)方程，得x=

15

8

．（6分）
所以DE=

15

8

，OE=2-

1

2

x=

17

16

．
根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，得AE⊥FG．
所以∠FOE=∠D=90°．可得FO=

17

30

．
又AB∥CD，所以∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO．
所以△FEO≌△GAO．所以FO=GO．
所以FG=2FO=

17

15

．
所以折痕FG的長(zhǎng)是

17

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題通過矩形紙片折疊，利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，在豐富的圖形關(guān)系中，考查學(xué)生獲取信息和利用所得信息認(rèn)識(shí)新事物的能力，本題對(duì)圖形折疊前后的不變量的把握、直線與圓位置關(guān)系的準(zhǔn)確理解、方程思想的運(yùn)用意識(shí)和策略等具有可再抽象性．