Question

黑板上寫有1，2，3，…，2011一串?dāng)?shù)．如果每次都擦去最前面的16個(gè)數(shù)，并在這串?dāng)?shù)的最后再寫上擦去的16個(gè)數(shù)的和，直至只剩下1個(gè)數(shù)，則：
（1）最后剩下的這個(gè)數(shù)是多少？
（2）所有在黑板上出現(xiàn)過(guò)的數(shù)的總和是多少？

Answer 1

分析：（1）每操作一次，不影響黑板上所有數(shù)的總和，因此最后剩下的和=1+2+3+…+2011，根據(jù)高斯求和公式完成即可．
（2）由于倒數(shù)第2次操作，黑板上就16個(gè)數(shù)，總和是2023066，這16個(gè)數(shù)來(lái)源于16×16=256個(gè)數(shù)，這256個(gè)數(shù)的和也同上．2011-（16-1）x=256，x=117次顯然，從開始，只要117次操作，黑板上就剩256個(gè)數(shù)．據(jù)此依據(jù)規(guī)則分析即可．①原有2011個(gè)數(shù)，和2023066
②操作117次，黑板剩余256個(gè)數(shù)：1873到2011，新出現(xiàn)117個(gè)和．這117個(gè)和=2023066-（1873+2011）*139/2=1753128
③操作16次，黑板剩余16個(gè)數(shù)都是新出現(xiàn)，和=2023066
④操作1次，黑板剩余1個(gè)數(shù)=2023066；
綜上，所有出現(xiàn)過(guò)的數(shù)=2023066+1753128+2023066+2023066=7822326

解答：解：（1）1+2+3+…+2011
=（1+2011）×2011÷2
=2012×2011÷2
=2023066
答：最后剩下的這個(gè)數(shù)是2023066．

（2）由于倒數(shù)第2次操作，黑板上就16個(gè)數(shù)，總和是2023066，這16個(gè)數(shù)來(lái)源于16×16=256個(gè)數(shù)，這256個(gè)數(shù)的和也同上．
2011-（16-1）x=256，x=117次，
顯然，從開始，只要117次操作，黑板上就剩256個(gè)數(shù)．
①原有2011個(gè)數(shù)，和2023066
②操作117次，黑板剩余256個(gè)數(shù)：1873到2011，新出現(xiàn)117個(gè)和．
這117個(gè)和=2023066-（1873+2011）×139÷2=1753128
③操作16次，黑板剩余16個(gè)數(shù)都是新出現(xiàn)，和=2023066
④操作1次，黑板剩余1個(gè)數(shù)=2023066
綜上，所有出現(xiàn)過(guò)的數(shù)=2023066+1753128+2023066+2023066=7822326．

點(diǎn)評(píng)：完成本題要注意分析題意，然后根據(jù)規(guī)則分析完成．