Question

分母是385的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)，并求這些真分?jǐn)?shù)的和．

Answer 1

分析：解答此題要先把385分解質(zhì)因數(shù)，計(jì)算出分母是385的不是最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)（分子是質(zhì)因數(shù)的倍數(shù)的均不是最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)）的個(gè)數(shù)，即用質(zhì)因數(shù)分別除385算出個(gè)數(shù)，減去重復(fù)的即為真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)，每對(duì)真分?jǐn)?shù)是成對(duì)出現(xiàn)的和為1，除以2即為和．

解答：解：因?yàn)?85=5×7×11，在1～385這385個(gè)自然數(shù)中，
5的倍數(shù)有[

385

5

]=77（個(gè)），7的倍數(shù)有[

385

7

]=55（個(gè)），11的倍數(shù)有[

385

11

]=35（個(gè)），5×7=35的倍數(shù)有[

385

35

]=11（個(gè)），5×11=55的倍數(shù)有[

385

55

]=7（個(gè)），7×11=77的倍數(shù)有[

385

77

]=5（個(gè)），385的倍數(shù)有1個(gè)．
由容斥原理知，在1～385中能被5、7或11整除的數(shù)有77+55+35-（11+7+5）+1=145（個(gè)），而5、7、11互質(zhì)的數(shù)有385-145=240（個(gè)）．即分母為385的真分?jǐn)?shù)有240（個(gè)）．
如果有一個(gè)真分?jǐn)?shù)為

a

385

，則必還有另一個(gè)真分?jǐn)?shù)

385-a

385

，即以385為分母的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，而每一對(duì)之和恰為1．故以385為分母的240最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)可以分成120時(shí)，它們的和為1×120=120．

點(diǎn)評(píng)：這道題主要考查數(shù)的倍數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)，最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)以及容斥原理運(yùn)用方面的知識(shí)．