Question

有些自然數(shù)可以表示成兩個合數(shù)相乘再加一個合數(shù)的形式，例如：33=4×6+9．請問：不能表示成這種形式的自然數(shù)最大是多少？

Answer 1

考點：最大與最小

專題：競賽專題

分析：因為最小的合數(shù)是4，而4×4+4=20，所以小于20的自然數(shù)均不能表示成題目要求的形式，大于20的偶數(shù)都可以表示成題目要求的形式，這是因為：20=4×4+4、22=4×4+6、24=4×4+8…；大于20的奇數(shù)按它除以8的余數(shù)分為四類考慮：被8除余1的最小合數(shù)是9，于是有25=4×4+9、33=4×6+9、41=4×8+9…可知所有大于20且被8除余1的奇數(shù)均可以表示成題目要求的形式．同理被8除余3、5、7的最小合數(shù)分別是27、21、15，所以仍用4×偶數(shù)+奇合數(shù)的形式表示出來．
從上面的分析可以看出比35大的奇數(shù)都可以表示成兩個合數(shù)的乘積與一個合數(shù)之和的形式，所以不能表示成兩個合數(shù)的乘積與一個合數(shù)之和的形式的最大的數(shù)是35．

解答： 解：最小的合數(shù)是4，4×4+4=20 所以大于等于20的偶數(shù)都具備這種性質(zhì)；
大于20的奇數(shù)可按除以8的余數(shù)分4類考慮，
被8除余1的最小合數(shù)是9，于是25=4×4+9，33=4×6+9…可知所有大于17且被8除余1的奇數(shù)都可以．
被8除余3的最小合數(shù)是27，于是43=4×4+27，51=4×6+27…可知所有大于35且被8除余3的奇數(shù)都可以．
被8除余5的最小合數(shù)是21，于是37=4×4+21，45=4×6+21…可知所有大于29且被8除余5的奇數(shù)都可以．
被8除余7的最小合數(shù)是15，于是31=4×4+15，39=4×6+15…可知所有大于23且被8除余7的奇數(shù)都可以．
從上面分析可看出比43-8=35大的奇數(shù)都可以用這種形式表示．
答：不能表示成這種形式的自然數(shù)最大是35．

點評：由最小的最小的合數(shù)是4，得出小于20的自然數(shù)均不能表示成題目要求的形式，并將大于20的奇數(shù)可按除以8的余數(shù)分4類進行分析是完成本題的關(guān)鍵．