Question

有100人參加算術(shù)測(cè)驗(yàn)，從第一題到第5題共有5道題．答對(duì)每道題的人數(shù)分別是：第1題92人，第2題86人，第3題61人，第4題87人，第5題57人．這次測(cè)驗(yàn)規(guī)定：5道題只要做對(duì)3道題就及格．那么最少有多少人及格？

Answer 1

考點(diǎn)：容斥原理,抽屜原理

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：至少有多少人及格，那就是說不及格的人數(shù)最多時(shí)及格的人數(shù)最少．100人共答對(duì)的題目數(shù)量有：92+86+61+87+57=383（道），100人做對(duì)了383題次，要想及格（≥3道題的）的人數(shù)少，先讓100人每人都對(duì)兩道（盡量的先不讓他們及格，占用的題次還盡量多），這時(shí)還有383-100×2=183題次．要是做對(duì)第5題的那57人再做對(duì)3道題的話（也就是讓這57人是滿分），由57×3=171＜183題次，還有183-171=12題次．再讓61-57=4人每人再對(duì)兩道（即這4個(gè)人每人都做對(duì)4道題），還剩12-4×2=4題次．這4道題次只能再讓4人每人再做對(duì)1道題（也就是這4人每人都是做對(duì)3道題）．這樣，做對(duì)≥3道題的人至少有57+4+4=65人，即及格者至少65人．

解答： 解：從5道題都答對(duì)的最多的人數(shù)來考慮，如果答對(duì)第5題的最少人數(shù)57人都是滿分的話
余下的答對(duì)題數(shù)的合計(jì)是（92+86+61+87+57-100×2）-（5-2）×57=12 人．
再從答對(duì)4道題盡可能多的人數(shù)來考慮，答對(duì)人數(shù)第二少的第3題的61人中，有57得滿分的話，答對(duì)了4道題的最多的情況下是 61-57=4人．
這時(shí)，余下的答對(duì)題數(shù)的合計(jì)是：12-（4-2）×4=4
答對(duì)3道題的人數(shù)是4．
根據(jù)以上分析，可知及格者的最少人數(shù)是：57+4+4=65人．
所以至少有65人及格．

點(diǎn)評(píng)：解決本題可以用逆向思維思考是不及格的人數(shù)達(dá)到最大值時(shí)，及格的人數(shù)最少，先計(jì)算出出錯(cuò)的題目總數(shù)量，錯(cuò)3道以上不及格，都錯(cuò)3道時(shí)不及格的人數(shù)最多，再計(jì)算出錯(cuò)題人數(shù)最大值，就可以求出及格人數(shù)最小值．