Question

將105表示成不少于兩個(gè)連續(xù)的（非零）自然數(shù)之和，最多有

 

種表達(dá)方式．

Answer 1

考點(diǎn)：整數(shù)的裂項(xiàng)與拆分

專題：整數(shù)的分解與分拆

分析：設(shè)拆成的數(shù)起始于X，共N個(gè)，則尾項(xiàng)是X+N-1，有（X+X+N-1）×N÷2=105，求出X的取值范圍，因此將210分解成兩個(gè)奇偶性不同的數(shù)（大于1），共有多少種分解法，就有多少種連續(xù)自然數(shù)拆法．據(jù)此解答．

解答： 解：設(shè)拆成的數(shù)起始于X，共N個(gè)，則尾項(xiàng)是X+N-1，有
（X+X+N-1）×N÷2=105
（2X-1+N）×N=210
顯然X≥1，2X-1≥1．則（2X-1+N）＞N
且2X-1必是奇數(shù)，（2X-1+N）與N必不同奇偶．
因此將210分解成兩個(gè)奇偶性不同的數(shù)（大于1），共有多少種分解法，就有多少種連續(xù)自然數(shù)拆法．
只有一種分法，分成奇偶性不同的兩個(gè)數(shù)的積210=30×7，
因此N=7．
答：最多有7種表達(dá)方式
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng)：此題解答的關(guān)鍵在于明白將210分解成兩個(gè)奇偶性不同的數(shù)（大于1），共有多少種分解法，就有多少種連續(xù)自然數(shù)拆法．