Question

有一些自然數(shù)（0除外）既是平方數(shù)，又是立方數(shù)．（注：平方數(shù)可以寫成兩個相同的自然數(shù)的乘積，立方數(shù)可以寫成三個自然數(shù)的乘積）．如：1=1×1=1×1×1   64=8×8=4×4×4．那么，1000以內(nèi)的自然數(shù)中，這樣的數(shù)有

3

個．

Answer 1

分析：一個自然數(shù)是平方數(shù)，則它的質(zhì)因數(shù)的個數(shù)是2的倍數(shù)；一個自然數(shù)是立方數(shù)，則它的質(zhì)因數(shù)的個數(shù)是3的倍數(shù)；由于2與3互質(zhì)，則一個自然數(shù)（0除外）既是平方數(shù)，又是立方數(shù)，它的質(zhì)因數(shù)的個數(shù)是6的倍數(shù)；則依次是：1⁶=1，2⁶=64，3⁶=729，4⁶=4096；所以在1000以內(nèi)的只有3個．

解答：解：既是平方數(shù)，又是立方數(shù)的數(shù)一定是完全六次方數(shù)，
所以：1⁶=1，2⁶=64，3⁶=729，4⁶=4096…
而4⁶=4096超過了1000，所以共有3個．
故答案為：3．

點評：本體需要掌握的知識點是：既是平方數(shù)，又是立方數(shù)的數(shù)一定是完全六次方數(shù)．