Question

【題目】有3頂紅帽子，4頂黑 帽子，5頂白帽子。讓10個(gè)人從矮到高站成一隊(duì)，給他們每個(gè)人頭上戴一頂帽子。每個(gè)人都看不見自己戴的帽子的顏色，卻只能看見站在前面那些人的帽子顏色。 （所以最后一個(gè)人可以看見前面9個(gè)人頭上帽子的顏色，而最前面那個(gè)人誰的帽子都看不見�，F(xiàn)在從最后那個(gè)人開始，問他是不是知道自己戴的帽子顏色，如果他回 答說不知道，就繼續(xù)問他前面那個(gè)人。假設(shè)最前面那個(gè)人一定會(huì)知道自己戴的是黑帽子。為什么？

Answer 1

【答案】最前面的那個(gè)人聽見后面兩個(gè)人都說了“不知道”，他假設(shè)自己戴的是白帽子，于是中間那個(gè)人就看見他戴的白帽子。那么中間那個(gè)人會(huì)作如下推理：“假設(shè)我戴了白帽子，那么最后那個(gè)人就會(huì)看見前面兩頂白帽子，但總共只有兩頂白帽子，他就應(yīng)該明白他自己戴的是黑帽子，現(xiàn)在他說不知道，就說明我戴了白帽子這個(gè)假定是錯(cuò)的，所以我戴了黑帽子。”問題是中間那人也說不知道，所以最前面那個(gè)人知道自己戴白帽子的假定是錯(cuò)的，所以他推斷出自己戴了黑帽子。

【解析】“有3頂黑帽子，2頂白帽子。讓三個(gè)人從前到后站成一排，給他們每個(gè)人頭上戴一頂帽子。每個(gè)人都看不見自己戴的帽子的顏色，卻只能看見站在前面那些人的帽子顏色。（所以最后一個(gè)人可以看見前面兩個(gè)人頭上帽子的顏色，中間那個(gè)人看得見前面那個(gè)人的帽子顏色但看不見在他后面那個(gè)人的帽子顏色，而最前面那個(gè)人誰的帽子都看不見�，F(xiàn)在從最后那個(gè)人開始，問他是不是知道自己戴的帽子顏色，如果他回答說不知道，就繼續(xù)問他前面那個(gè)人。事實(shí)上他們?nèi)齻�(gè)戴的都是黑帽子，那么最前面那個(gè)人一定會(huì)知道自己戴的是黑帽子。為什么？”

答案是，最前面的那個(gè)人聽見后面兩個(gè)人都說了“不知道”，他假設(shè)自己戴的是白帽子，于是中間那個(gè)人就看見他戴的白帽子。那么中間那個(gè)人會(huì)作如下推理：“假設(shè)我戴了白帽子，那么最后那個(gè)人就會(huì)看見前面兩頂白帽子，但總共只有兩頂白帽子，他就應(yīng)該明白他自己戴的是黑帽子，現(xiàn)在他說不知道，就說明我戴了白帽子這個(gè)假定是錯(cuò)的，所以我戴了黑帽子。”問題是中間那人也說不知道，所以最前面那個(gè)人知道自己戴白帽子的假定是錯(cuò)的，所以他推斷出自己戴了黑帽子。

我們把這個(gè)問題推廣成如下的形式：

“有若干種顏色的帽子，每種若干頂。假設(shè)有若干個(gè)人從前到后站成一排，給他們每個(gè)人頭上戴一頂帽子。每個(gè)人都看不見自己戴的帽子的顏色，而且每個(gè)人都看得見在他前面所有人頭上帽子的顏色，卻看不見在他后面任何人頭上帽子的顏色�，F(xiàn)在從最后那個(gè)人開始，

問他是不是知道自己戴的帽子顏色，如果他回答說不知道，就繼續(xù)問他前面那個(gè)人。一直往前問，那么一定有一個(gè)人知道自己所戴的帽子顏色。”

當(dāng)然要假設(shè)一些條件：

1)首先，帽子的總數(shù)一定要大于人數(shù)，否則帽子都不夠戴。

2)“有若干種顏色的帽子，每種若干頂，有若干人”這個(gè)信息是隊(duì)列中所有人都事先知道的，而且所有人都知道所有人都知道此事，所有人都知道所有人都知道所有人都知道此事，等等等等。但在這個(gè)條件中的“若干”不一定非要具體一一給出數(shù)字來。

這個(gè)信息具體地可以是象上面經(jīng)典的形式，列舉出每種顏色帽子的數(shù)目“有3頂黑帽子，2頂白帽子，3個(gè)人”，也可以是“有紅黃綠三種顏色的帽子各1頂2頂3頂，但具體不知道哪種顏色是幾頂，有6個(gè)人”，甚至連具體人數(shù)也可以不知道，“有不知多少人排成一排，有黑白兩種帽子，每種帽子的數(shù)目都比人數(shù)少1”，這時(shí)候那個(gè)排在最后的人并不知道自己排在最后——直到開始問他時(shí)發(fā)現(xiàn)在他回答前沒有別人被問到，他才知道他在最后。在這個(gè)帖子接下去的部分當(dāng)我出題的時(shí)候我將只寫出“有若干種顏色的帽子，每種若干頂，有若干人”這個(gè)預(yù)設(shè)條件，因?yàn)檫@部分確定了，題目也就確定了。

3)剩下的沒有戴在大家頭上的帽子當(dāng)然都被藏起來了，隊(duì)伍里的人誰都不知道都剩下些什么帽子。

4)所有人都不是色盲，不但不是，而且只要兩種顏色不同，他們就能分別出來。當(dāng)然他們的視力也很好，能看到前方任意遠(yuǎn)的地方。他們極其聰明，邏輯推理是極好的�？偠�言之，只要理論上根據(jù)邏輯推導(dǎo)得出來，他們就一定推導(dǎo)得出來。相反地如果他們推不出自己頭上帽子的顏色，任何人都不會(huì)試圖去猜或者作弊偷看——不知為不知。

5)后面的人不能和前面的人說悄悄話或者打暗號(hào)。

當(dāng)然，不是所有的預(yù)設(shè)條件都能給出一個(gè)合理的題目。比如有99頂黑帽子，99頂白帽子，2個(gè)人，無論怎么戴，都不可能有人知道自己頭上帽子的顏色。另外，只要不是只有一種顏色的帽子，在只由一個(gè)人組成的隊(duì)伍里，這個(gè)人也是不可能說出自己帽子的顏色的。

但是下面這幾題是合理的題目：

1)3頂紅帽子，4頂黑帽子，5頂白帽子，10個(gè)人。

2)3頂紅帽子，4頂黑帽子，5頂白帽子，8個(gè)人。

3)n頂黑帽子，n-1頂白帽子，n個(gè)人（n>0）。

4)1頂顏色1的帽子，2頂顏色2的帽子，……，99頂顏色99的帽子，100頂顏色100的帽子，共5000個(gè)人。

5)有紅黃綠三種顏色的帽子各1頂2頂3頂，但具體不知道哪種顏色是幾頂，有6個(gè)人。

6)有不知多少人（至少兩人）排成一排，有黑白兩種帽子，每種帽子的數(shù)目都比人數(shù)少1。

大家可以先不看我下面的分析，試著做做這幾題。

如果按照上面3頂黑帽2頂白帽時(shí)的推理方法去做，那么10個(gè)人就可以把我們累死，別說5000個(gè)人了。但是3)中的n是個(gè)抽象的數(shù)，考慮一下怎么解決這個(gè)問題，對(duì)解決一般的問題大有好處。

假設(shè)現(xiàn)在n個(gè)人都已經(jīng)戴好了帽子，問排在最后的那一個(gè)人他頭上的帽子是什么顏色，什么時(shí)候他會(huì)回答“知道”？很顯然，只有在他看見前面n-1個(gè)人都戴著白帽時(shí)才可能，因?yàn)檫@時(shí)所有的n-1頂白帽都已用光，在他自己的腦袋上只能頂著黑帽子，只要前面有一頂黑帽子，那么他就無法排除自己頭上是黑帽子的可能——即使他看見前面所有人都是黑帽，他還是有可能戴著第n頂黑帽。

現(xiàn)在假設(shè)最后那個(gè)人的回答是“不知道”，那么輪到問倒數(shù)第二人。根據(jù)最后面那位的回答，他能推斷出什么呢？如果他看見的都是白帽，那么他立刻可以推斷出自己戴的是黑帽——要是他也戴著白帽，那么最后那人應(yīng)該看見一片白帽，問到他時(shí)他就該回答“知道”了。但是如果倒數(shù)第二人看見前面至少有一頂黑帽，他就無法作出判斷——他有可能戴著白帽，但是他前面的那些黑帽使得最后那人無法回答“知道”；他自然也有可能戴著黑帽。

這樣的推理可以繼續(xù)下去，但是我們已經(jīng)看出了苗頭。最后那個(gè)人可以回答“知道”當(dāng)且僅當(dāng)他看見的全是白帽，所以他回答“不知道”當(dāng)且僅當(dāng)他至少看見了一頂黑帽。這就是所有帽子顏色問題的關(guān)鍵！

如果最后一個(gè)人回答“不知道”，那么他至少看見了一頂黑帽，所以如果倒數(shù)第二人看見的都是白帽，那么最后那個(gè)人看見的至少一頂黑帽在哪里呢？不會(huì)在別處，只能在倒數(shù)第二人自己的頭上。這樣的推理繼續(xù)下去，對(duì)于隊(duì)列中的每一個(gè)人來說就成了：

“在我后面的所有人都看見了至少一頂黑帽，否則的話他們就會(huì)按照相同的判斷斷定自己戴的是黑帽，所以如果我看見前面的人戴的全是白帽的話，我頭上一定戴著我身后那個(gè)人看見的那頂黑帽。”

我們知道最前面的那個(gè)人什么帽子都看不見，就不用說看見黑帽了，所以如果他身后的所有人都回答說“不知道”，那么按照上面的推理，他可以確定自己戴的是黑帽，因?yàn)樗�身后的人必定看見了一頂黑�?/span>——只能是第一個(gè)人他自己頭上的那頂。事實(shí)上很明顯，第一個(gè)說出自己頭上是什么顏色帽子的那個(gè)人，就是從隊(duì)首數(shù)起的第一個(gè)戴黑帽子的人，也就是那個(gè)從隊(duì)尾數(shù)起第一個(gè)看見前面所有人都戴白帽子的人。

這樣的推理也許讓人覺得有點(diǎn)循環(huán)論證的味道，因?yàn)樯厦婺嵌瓮评碇邪�含�?/span>“如果別人也使用相同的推理”這樣的意思，在邏輯上這樣的自指式命題有點(diǎn)危險(xiǎn)。但是其實(shí)這里沒有循環(huán)論證，這是類似數(shù)學(xué)歸納法的推理，每個(gè)人的推理都建立在他后面那些人的推理上，而對(duì)于最后一個(gè)人來說，他的身后沒有人，所以他的推理不依賴于其他人的推理就可以成立，是歸納中的第一個(gè)推理。稍微思考一下，我們就可以把上面的論證改得適合于任何多種顏色的推論：

“如果我們可以從假設(shè)斷定某種顏色的帽子一定會(huì)在隊(duì)列中出現(xiàn)，從隊(duì)尾數(shù)起第一個(gè)看不見這種顏色的帽子的人就立刻可以根據(jù)和此論證相同的論證來作出判斷，他戴的是這種顏色的帽子。現(xiàn)在所有我身后的人都回答不知道，所以我身后的人也看見了此種顏色的帽子。如果在我前面我見不到此顏色的帽子，那么一定是我戴著這種顏色的帽子。”

當(dāng)然第一個(gè)人的初始推理相當(dāng)簡單：“隊(duì)列中一定有人戴這種顏色的帽子，現(xiàn)在我看不見前面有人戴這顏色的帽子，那它只能是戴在我的頭上了。”

對(duì)于題1)事情就變得很明顯，3頂紅帽子，4頂黑帽子，5頂白帽子給10個(gè)人戴，隊(duì)列中每種顏色至少都該有一頂，于是從隊(duì)尾數(shù)起第一個(gè)看不見某種顏色的帽子的人就能夠斷定他自己戴著這種顏色的帽子，通過這點(diǎn)我們也可以看到，最多問到從隊(duì)首數(shù)起的第三人時(shí)，就應(yīng)該有人回答“知道”了，因?yàn)閺年?duì)首數(shù)起的第三人最多只能看見兩頂帽子，所以最多看見兩種顏色，如果他后面的人都回答“不知道”，那么他前面一定有兩種顏色的帽子，而他頭上戴的一定是他看不見的那種顏色的帽子。

題2)也一樣，3頂紅帽子，4頂黑帽子，5頂白帽子給8個(gè)人戴，那么隊(duì)列中一定至少有一頂白帽子，因?yàn)槠渌�顏色加起來一共�?頂，所以隊(duì)列中一定會(huì)有人回答“知道”。

題4)的規(guī)模大了一點(diǎn)，但是道理和2)完全一樣。100種顏色的5050頂帽子給5000人戴，前面99種顏色的帽子數(shù)量是1+……+99=4950，所以隊(duì)列中一定有第100種顏色的帽子（至少有50頂），所以如果自己身后的人都回答“不知道”，那么那個(gè)看不見顏色100帽子的人就可以斷定自己戴著這種顏色的帽子。

至于5)、6)“有紅黃綠三種顏色的帽子各1頂2頂3頂，但具體不知道哪種顏色是幾頂，有6個(gè)人”以及“有不知多少人排成一排，有黑白兩種帽子，每種帽子的數(shù)目都比人數(shù)少1”，原理完全相同，我就不具體分析了。

最后要指出的一點(diǎn)是，上面我們只是論證了，如果我們可以根據(jù)各種顏色帽子的數(shù)量和隊(duì)列中的人數(shù)判斷出在隊(duì)列中至少有一頂某種顏色的帽子，那么一定有一人可以判斷出自己頭上的帽子的顏色。因?yàn)槿绻�所有身后的人都回�?/span>“不知道”的話，那個(gè)從隊(duì)尾數(shù)起第一個(gè)看不見這種顏色的帽子的人就可以判斷自己戴了此顏色的帽子。但是這并不是說在詢問中一定是由他來回答“知道”的，因?yàn)檫�可能有其他的方法來判斷自己頭上帽子的顏色。比如說在題2)中，如果隊(duì)列如下：（箭頭表示隊(duì)列中人臉朝的方向）

白白黑黑黑黑紅紅紅白→

那么在隊(duì)尾第一人就立刻可以回答他頭上的是白帽，因?yàn)樗�看見了所有�?頂紅帽子和4頂黑帽子，能留給他自己戴的只能是白帽子了。