Question

12．十八世紀瑞士數(shù)學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的一個有趣的關系式，被稱為歐拉公式．請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題：

多面體	頂點數(shù)（V）	面數(shù)（F）	棱數(shù)（E）
四面體	4	4
長方體	8	6	12
正八面體		8	12
正十二面體	20	12	30

（1）根據(jù)上面多面體模型，完成表格中的空格：
你發(fā)現(xiàn)頂點數(shù)（V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關系式是V+F-E=2；
（2）一個多面體的面數(shù)比頂點數(shù)大8，且有30條棱，則這個多面體的面數(shù)是20；

Answer 1

分析 （1）觀察圖形即可得出結論；觀察可得頂點數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=2；
（2）代入（1）中的式子即可得到面數(shù)

解答 解：（1）觀察圖形，四面體的棱數(shù)為6；正八面體的頂點數(shù)為6；
觀察表格可以看出：頂點數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=2，關系式為：V+F-E=2；

多面體	頂點數(shù)（V）	面數(shù)（F）	棱數(shù)（E）
四面體	4	4	2
長方體	8	6	12
正八面體	6	8	12
正十二面體	20	12	30

（2）由題意得：F-8+F-30=2，解得F=20．
故答案為：（1）6，6；V+F-E=2；（2）20．

點評 本題考查多面體的頂點數(shù)，面數(shù)，棱數(shù)之間的關系及靈活運用．