Question

如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點B′處，點A落在點A′處，（1）求證：B′E=BF；（2）設(shè)AE=a，AB=b，BF=c，試猜想a、b、c之間有何等量關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)題意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，接著根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定即可證明B′E=BF；
（2）解答此類題目時要仔細讀題，根據(jù)三角形三邊關(guān)系求解分類討論解答，要提高全等三角形的判定結(jié)合勾股定理解答．

解答：（1）證明：由題意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
所以∠B′EF=∠BFE，
所以∠B′FE=∠B'EF，
所以B′F=BE，
所以B′E=BF；

（2）答：a，b，c三者關(guān)系不唯一，有兩種可能情況：
（�。゛，b，c三者存在的關(guān)系是a²+b²=c²．
證明：連接BE，
由（1）知B′E=BF=c，
因為B′E=BE，
所以四邊形BEB′F是平行四邊形，
所以BE=c．
在△ABE中，∠A=90°，
所以AE²+AB²=BE²，
所以AE=a，AB=b，
所以a²+b²=c²；

（ⅱ）a，b，c三者存在的關(guān)系是a+b＞c．
證明：連接BE，則BE=B′E．
由（1）知B′E=BF=c，
所以BE=c，
在△ABE中，AE+AB＞BE，
所以a+b＞c．

點評：此題以證明和探究結(jié)論形式來考查矩形的翻折、等角對等邊、三角形全等、勾股定理等知識．
第一，較好考查學(xué)生表述數(shù)學(xué)推理和論證能力，第（1）問重點考查了學(xué)生邏輯推理的能力，主要利用等角對等邊、翻折等知識來證明；
第二，試題呈現(xiàn)顯示了濃郁的探索過程，試題設(shè)計的起點低，圖形也很直觀，也可通過自已動手操作，尋找?guī)缀卧�素之間的對應(yīng)關(guān)系，形成較為常規(guī)的方法解決問題，第（2）問既考查了學(xué)生對勾股定理掌握的程度又考查學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想和探索能力，這對于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神十分有益；
第三，解題策略多樣化在本題中得到了充分的體現(xiàn)．