Question

有一個(gè)面積為3456cm²的矩形，它的四個(gè)邊都在如圖1的網(wǎng)格線上，圖中每個(gè)小正方形的邊長為1cm．我們稱圖中每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)為「格點(diǎn)」，例如：2cm×4cm 的矩形的一條對角線正好通過3個(gè)格點(diǎn)（如圖2）．請問上述面積為3456cm² 的矩形的對角線最多可能通過多少個(gè)格點(diǎn)？

Answer 1

考點(diǎn)：格點(diǎn)面積（畢克定理）

專題：平面圖形的認(rèn)識與計(jì)算

分析：為使格點(diǎn)最多，這個(gè)長方形應(yīng)盡量近似于正方形．因此先分解質(zhì)因數(shù)，3456=2×2×2×2×2×2×2×3×3×3，則為了符合條件，長應(yīng)為2×2×2×3×3=48（厘米），寬應(yīng)為2×2×2×2×3=72（厘米），長寬之比為3：2．用48÷2=24 或72÷3=24，說明有24個(gè)長為3厘米，寬為2厘米的長方形．由植樹問題基本原理可得，中間線段+1=格點(diǎn)，則24+1=25個(gè)．解決問題．

解答： 解：3456=2×2×2×2×2×2×2×3×3×3．
長應(yīng)為2×2×2×3×3=48（厘米），寬應(yīng)為2×2×2×2×3=72（厘米），長寬之比為3：2．
48÷2=24 或72÷3=24，說明有24個(gè)長為3厘米，寬為2厘米的長方形．
根據(jù)植樹問題：中間線段+1=格點(diǎn)，則24+1=25個(gè)．
答：面積為3456cm² 的矩形的對角線最多可能通過25個(gè)格點(diǎn)．

點(diǎn)評：先分解質(zhì)因數(shù)，求出長方形的長和寬，由植樹問題基本原理解決問題．