Question

12．宇航員在地面附近以一定的初速度v₀豎直上拋一個小球，經(jīng)時間t小球回落原處；若他在某未知星球表面以相同的初速度v₀豎直上拋同一小球，發(fā)現(xiàn)需經(jīng)5t的時間小球才落回原處．已知地球表面附近的重力加速度g=10m/s²．現(xiàn)把兩個星球都處理成質(zhì)量分布均勻的球體，在不考慮未知星體和地球自轉(zhuǎn)和空氣阻力影響的情況下，試分析：
（1）該未知星球表面附近的重力加速度g′的大��？
（2）若已測得該未知星球的半徑和地球的半徑之比為$\frac{R_星}{R_地}=\frac{1}{4}$，求該星球的質(zhì)量與地球的質(zhì)量之比$\frac{M_星}{M_地}$．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用運(yùn)動學(xué)公式速度與時間的關(guān)系，求出地球表面重力加速度g與星球表面附近的重力加速度g′間的關(guān)系，從而求出未知星球表面附近的重力加速度g′的大�。�
（2）根據(jù)萬有引力等于重力表示出質(zhì)量，求出星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比．

解答 解：（1）設(shè)未知星體表面附近的重力加速度為g'，根據(jù)上拋運(yùn)動的理論，有
在地面上：2v₀=gt
在未知星體表面附近：2v₀=g'•5t
則該未知星球表面附近的重力加速度g′的大小為：$g'=\frac{g}{5}=2m/{s^2}$
（2）不考慮自轉(zhuǎn)影響，可認(rèn)為放在不同星體表面附近物體m的重力等于星體對它的萬有引力，即：
在地面附近：$mg=G\frac{{{M_地}m}}{{{R^2}_地}}$
在未知星體表面附近：$mg'=G\frac{{{M_星}m}}{{{R^2}_星}}$
又因?yàn)樵撐粗�星球的半徑和地球的半徑之比�?\frac{R_星}{R_地}=\frac{1}{4}$及  $\frac{g'}{g}=\frac{1}{5}$得：
該未知星球的質(zhì)量與地球的質(zhì)量之比$\frac{M_星}{M_地}=\frac{1}{80}$．
答：（1）該未知星球表面附近的重力加速度g′的大小為2m/s²；
（2）若已測得該未知星球的半徑和地球的半徑之比為$\frac{R_星}{R_地}=\frac{1}{4}$，求該星球的質(zhì)量與地球的質(zhì)量之比$\frac{M_星}{M_地}$為$\frac{1}{80}$．

點(diǎn)評 重力加速度g是天體運(yùn)動研究和天體表面宏觀物體運(yùn)動研究聯(lián)系的物理量．
求一個物理量之比，我們應(yīng)該把這個物理量先用已知的物理量表示出來，再根據(jù)表達(dá)式進(jìn)行比較