Question

設(shè)N=301×302×…×2005×2006，請(qǐng)問(wèn)：
（1）N的末尾一共會(huì)出現(xiàn)多少個(gè)連續(xù)的數(shù)字“0”？
（2）用N不斷除以12，直到結(jié)果不能被12整除為止，一共可以除以多少次12？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)字問(wèn)題

專(zhuān)題：整除性問(wèn)題

分析：（1）一個(gè)因數(shù)2與一個(gè)因數(shù)相乘，會(huì)在乘積的末尾增加一個(gè)0，連續(xù)的自然數(shù)相乘，因數(shù)2足夠多，只需看因數(shù)5的個(gè)數(shù)即可求解；
（2）第二問(wèn)就要看因數(shù)2與因數(shù)3的個(gè)數(shù)，分別求出有多少個(gè)因數(shù)3和多少個(gè)因數(shù)2，找出較少的即可求解．

解答： 解：（1）N中因數(shù)2足夠多，因此末尾0的個(gè)數(shù)取決于N中因數(shù)5的個(gè)數(shù)．
2006-301+1=1706
因數(shù)5的個(gè)數(shù)：
2006÷5+2006÷25+2006÷125+2006÷625-（300÷5+300÷25+300÷125）
=401+80+16+3-60-12-2
=426（個(gè)）
所以，N末尾有426個(gè)連續(xù)0．

（2）N中因數(shù)3比因數(shù)4多，因此最多可以除去多少次12，取決于N中因數(shù)4的個(gè)數(shù)．
N中因數(shù)2的個(gè)數(shù)：
2006÷2+2006÷4+2006÷8+2006÷16+…+2006÷1024-300÷2+300÷4+300÷8+…+300÷256）
=1003+501+250+125+62+31+15+7+3+1-150-75-37-18-9-4-2-1
=1702
則N中因數(shù)4的個(gè)數(shù)為：1702÷2=851（個(gè)）．
所以，用N不斷除以12，直到結(jié)果不能被12整除為止，一共可以除以851次12．

點(diǎn)評(píng)：（1）因數(shù)2足夠多，只需看因數(shù)5的個(gè)數(shù)即可求解．
（2）看因數(shù)2與因數(shù)3的個(gè)數(shù)，分別求出有多少個(gè)因數(shù)3和多少個(gè)因數(shù)2．