Question

【題目】任意給定2008個(gè)自然數(shù)，證明：其中必有若干個(gè)自然數(shù)，和是2008的倍數(shù)（單獨(dú)一個(gè)數(shù)也當(dāng)做和）。

Answer 1

【答案】證明過(guò)程見(jiàn)詳解。

【解析】

要證明：任意給定2008個(gè)自然數(shù)，其中必有若干個(gè)自然數(shù)，和是2008的倍數(shù)（單獨(dú)一個(gè)數(shù)也當(dāng)做和）；可先將這2008個(gè)數(shù)依次排列然后進(jìn)行求和，從而來(lái)判斷是否有和是2008的倍數(shù)；若沒(méi)有，則必有兩個(gè)和除以2008的余數(shù)相同，那么它們的差（仍然是，，……中若干個(gè)數(shù)的和）是2008的倍數(shù)；據(jù)此解答。

把這2008個(gè)數(shù)先排成一行：，，……，

第1數(shù)為；

前2個(gè)數(shù)之和為＋；

前3個(gè)數(shù)之和為：＋＋；

……

前2008個(gè)數(shù)之和為＋＋＋…＋，

如果這2008個(gè)和中有一個(gè)是2008 的倍數(shù)，那么問(wèn)題已經(jīng)解決；如果這2008個(gè)和中沒(méi)有2008的倍數(shù)，那么它們除以2008 的余數(shù)只能為1， 2，……2007之一，根據(jù)抽屜原理，必有兩個(gè)和除以2008的余數(shù)相同，那么它們的差（仍然是，，……中若干個(gè)數(shù)的和）是2008的倍數(shù)，所以結(jié)論成立。