Question

兩條直線相交，四個交角中的一個銳角或一個直角稱為這兩條直線的“夾角”（如圖）．如果在平面上畫L條直線，要求它們兩兩相交，并且“夾角”只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°之一，問：
（1）L的最大值是多少？
（2）當L取最大值時，問所有的“夾角”的和是多少？

Answer 1

分析：固定平面上一條直線，其它直線與此條固定直線的交角自這條固定直線起逆時針計算，只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°十一種角度之一，所以，平面上最多有12條直線．否則，必有兩條直線平行．

如圖，將所有直線做平行移動，使它們交于同一個點，這樣的平行移動顯然不改變兩條直線的“夾角”．無妨設其中一條直線水平，從水平直線開始，逆時針將12條直線分別記為第一條、第二條、…和第十二條直線．然后分以下情況討論：
（1）第二條至第十二條直線與第一條直線的“夾角”和；
（2）第三條至第十二條直線與第二條直線相交的“夾角”和；
（3）第四條至第十二條直線與第三條直線相交的“夾角”和；
…；
（10）第十一條和第十二條直線與第十條直線相交的“夾角”和；
（11）第十二條直線與第十一條直線相交的“夾角”和．
進一步解決問題．

解答：解：固定平面上一條直線，其它直線與此條固定直線的交角自這條固定直線起逆時針計算，只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°十一種角度之一，所以，平面上最多有12條直線．否則，必有兩條直線平行．

如圖，將所有直線做平行移動，使它們交于同一個點，這樣的平行移動顯然不改變兩條直線的“夾角”．無妨設其中一條直線水平，從水平直線開始，逆時針將12條直線分別記為第一條、第二條、…和第十二條直線．
（1）第二條至第十二條直線與第一條直線的“夾角”和是：
15+30+45+60+75+90+75+60+45+30+15=540 （度）；
（2）第三條至第十二條直線與第二條直線相交的“夾角”和是：
15+30+45+60+75+90+75+60+45+30=（540-15）（度）；
（3）第四條至第十二條直線與第三條直線相交的“夾角”和是：
15+30+45+60+75+90+75+60+45=（540-15-30）（度）；
…；
（10）第十一條和第十二條直線與第十條直線相交的“夾角”和是（30+15）（度），
（11）第十二條直線與第十一條直線相交的“夾角”和是：15（度）；
將（2）和（11）、（3）和（10）、（4）和（9）、（5）和（8）、（6）和（7）配對，得到所有的“夾角”之和是6×540=3240 （度）．

點評：此題解答的關鍵在于：固定平面上一條直線，其它直線與此條固定直線的交角自這條固定直線起逆時針計算，分情況討論，解決問題．