Question

已知正整數(shù)a、b、c滿足a+b+c+ab+ac+bc+abc=1000．求a、b、c的值．

Answer 1

考點(diǎn)：不定方程的分析求解

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：我們可先將a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可變?yōu)椋╝+1）（b+1）（c+1）-1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=1001，由于a、b、c均為正整數(shù)，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也為正整數(shù)，而1001只可分解為7×11×13所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分別為7、11、13據(jù)此可得a、b、c分別為6、10、12．

解答： 解：原式可化為：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1-1=1000，
a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）-1=1000
（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=1001
（1+b）（c+1+a+ac）=1001
（1+b）（c+1）（a+1）=1001
1001只能分解為7×11×13
所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分別為7、11、13
所以a、b、c也只能分別為6、10、12
答：a、b、c的值分別是6、10、12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三次的分解因式，做題當(dāng)中用加減項(xiàng)的方法，使式子滿足分解因式．