Question

如圖，把正方形ACFG與Rt△ACB按如圖①所示重疊在一起，其中AC=2，∠BAC=60°，若把Rt△ACB繞直角頂點C按順時針方向旋轉，使斜邊AB恰好經過正方形ACFG的頂點F，得△A′B′C，AB分別與A′C、A′B′相交于點D、E，如圖②所示
（1）△ABC至少旋轉多少度才能得到△A'B'C？說明理由；
（2）求△ABC與△A′B′C重疊部分（即四邊形CDEF）的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，結合旋轉的性質：可得△A′CF是等邊三角形，進而可得∠ACA′=90°-60°=30°，故至少應旋轉30°；
（2）根據(jù)題意分別求得△A′DE的面積與△ABC的面積；觀察圖形分析可得四邊形DCFE的面積為：S_△A’CF-S_△A′DE，代入數(shù)據(jù)可得答案．

解答：解：（1）因為ACFG是正方形，A'B′經過點F，
所以A′C=CF．
又因為∠A′=60°，
所以△A′CF是等邊三角形．
因為∠A′CF=60°，
所以∠ACA′=90°-60°=30°．
所以△ABC至少旋轉30°才能得到△A′CB′．

（2）因為∠ACA′=30°，∠BAC=60°，
所以∠A′DE=90°．
又因為AC=2，
可求得CD=

3

，A′D=2-

3

．
在Rt△A′DE中，
DE=A′Dtan60°=（2-

3

）?

3

=2

3

-3．
所以△A′DE的面積為：

1

2

A′D?DE=（2-

3

）?（2

3

-3）=

7

2

3

-6．
又因為A'B′=4，A′F=2，
所以F是A'B′的中點．
所以△A′CF的面積=

1

2

△ABC的面積．
而B′C=A′C?tan60°=2

3

，
S_△ABC=

1

2

×2×2

3

=2

3

，S_△A’CF=

3

，
所以四邊形CDEF的面積為：

3

-（

7

2

3

-6）=

3

-

7

2

3

+6=6-

5

2

3

；
（若取近似值，則結果應約為1.7．）．

點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質．注意在正方形中的特殊三角形的應用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關系，可有助于提高解題速度和準確率．