在設(shè)計算法的過程中，解決問題的基本思想常常很簡單、很清楚，但表述參與運算的數(shù)值的頻頻變換卻很麻煩。為了解決這個問題，需要在程序中引入變量。前面通過對函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，我們就已經(jīng)了解變量的含義：在研究問題的過程中可以取代不同數(shù)值的量稱為變量。

程序中一些重要的函數(shù)也很有用處，如取平方根函數(shù)SQR(x)=|x|，取絕對值函數(shù)ABS(x)=。

變量與函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)里面最重要的和最基本的概念，在算法的設(shè)計里面仍然發(fā)揮著重要的和最基本的作用，它們會使得算法的表達(dá)變得非常整潔、清楚。

1．賦值語句在程序運行時給變量賦值；“=”的右側(cè)必須是表達(dá)式，左側(cè)必須是變量；一個語句只能給一個變量賦值；有計算功能；將一個變量的值賦給另一個變量時，前一個變量的值保持不變；可先后給一個變量賦多個不同的值，但變量的取值只與最后一次賦值有關(guān)。

2．累加變量是最終的輸出結(jié)果。每進(jìn)入一次循環(huán)體隨著計數(shù)變量改變而改變。累加變量的初始值通常為0。

1．計數(shù)變量的作用一般是統(tǒng)計循環(huán)體執(zhí)行的次數(shù)，改變循環(huán)條件的取值，為結(jié)束循環(huán)作準(zhǔn)備。譬如：計算等差、等比數(shù)列的前n項的和，n就是計數(shù)變量的臨界值，在當(dāng)型結(jié)構(gòu)中“小于等于n”維持循環(huán)，而在直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)中“大于n”跳出循環(huán)。

2．條件語句的嵌套可多于兩層，可以表達(dá)算法步驟中的多重限制條件。

題型4：循環(huán)語句

例7．設(shè)計一個計算1×3×5×7×…×99的算法，編寫算法程序。

解析：

算法如下：

第一步：s＝1；

第二步：i＝3；

第三步：s＝s×i；

第四步：i＝i+2；

第五步：如果i≤99，那么轉(zhuǎn)到第三步；

第六步：輸出s；

程序如下：(“WHILE型”循環(huán)語句)

s＝1

i＝3

WHILE　 i＜＝99

s＝s*i

i＝i+2

WEND

PRINT　 s

END

點評：你能用“UNTIL”型循環(huán)語句表示“典例1”中的程序嗎？

例8．編寫一個程序，求1!+2!+…+10!的值。

解析：這個問題是求前10個正整數(shù)的階乘之和，可以用“WHILE+ WHILE”循環(huán)嵌套語句格式來實現(xiàn)。

程序結(jié)構(gòu)要做到如下步驟：

①處理“N!”的值；(注：處理N!值的變量就是一個內(nèi)循環(huán)變量)

②累加“N!”的值。(注：累加N!值的變量就是一個外循環(huán)變量)

顯然，通過10次循環(huán)可分別求出1!、2!、…、10!的值，并同時累加起來, 可求得S的值。而求T=N!，又可以用一個循環(huán)(內(nèi)循環(huán))來實現(xiàn)。

程序為:

s=0

i=1

WHILE i<=10

j=1

t=1

WHILE j<=i

t=t*j

j=j+1

WEND

s=s+t

i=i+1

WEND

PRINT s

END

上面程序中哪個變量是內(nèi)循環(huán)變量，哪個變量是外循環(huán)變量？

(1)內(nèi)循環(huán)變量：j，t

(2)外循環(huán)變量：s，i

“典例2”程序是一個的“WHILE+WHILE”型循環(huán)嵌套語句格式。這是一個比較好想的方法，但實際上對于求n!，我們也可以根據(jù)求出的(n－1)!乘上n即可得到，而無需重新從1再累乘到n。

程序可改為：

s=0

i=1

j=1

WHILE i<=10

j=j*i

s=s+j

i=i+1

WEND

PRINT s

END

顯然第二個程序的效率要比第一個高得多。第一程序要進(jìn)行1+2+…+10=55次循環(huán)，而第二程序進(jìn)行10次循環(huán)。如題目中求的是1！+2！+…+1000！，則兩個程序的效率區(qū)別更明顯。

點評：解決具體的構(gòu)造循環(huán)語句的算法問題，要盡可能的少引入循環(huán)變量，否則較多的變量會使得設(shè)計程序比較麻煩，并且較多的變量會使得計算機占用大量的系統(tǒng)資源，致使系統(tǒng)緩慢。另外，也盡可能使得循環(huán)嵌套的層數(shù)少，否則也浪費計算機的系統(tǒng)資源。

題型5：實際應(yīng)用

例9．中國網(wǎng)通規(guī)定：撥打市內(nèi)電話時，如果不超過3分鐘，則收取話費0.22元；如果通話時間超過3分鐘，則超出部分按每分鐘0.1元收取通話費，不足一分鐘按以一分鐘計算。設(shè)通話時間為t(分鐘)，通話費用y(元)，如何設(shè)計一個程序，計算通話的費用。

解析：

算法分析：

數(shù)學(xué)模型實際上為：y關(guān)于t的分段函數(shù)。

關(guān)系是如下：

其中[t－3]表示取不大于t－3的整數(shù)部分。

算法步驟如下：

第一步：輸入通話時間t；

第二步：如果t≤3，那么y = 0.22；否則判斷t∈Z 是否成立，若成立執(zhí)行y= 0.2+0.1× (t－3)；否則執(zhí)行y = 0.2+0.1×( [t－3]+1)。

第三步：輸出通話費用c 。

算法程序如下：

INPUT “請輸入通話時間：”；t

IF　 t<=3　 THEN

y=0.22

ELSE

IF　 INT(t)=t　 THEN

y=0.22+0.1*(t－3)

ELSE

y=0.22+0.1*(INT(t－3)+1)

END IF

END IF

PRINT “通話費用為：”；y

END

點評：實際應(yīng)用問題，在高考中是一個熱點。如何將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵，最后還要用算法步驟和程序進(jìn)行表達(dá)。如：中國網(wǎng)通通話費的規(guī)定在數(shù)學(xué)中就是通話時間到通話費用的分段函數(shù)。日常生活中的分段函數(shù)問題還有很多：出租車的計費問題、個人所得稅問題、銀行利率問題等等。

例10．編寫程序，計算數(shù)列{a_n}的前20項的和。(其中數(shù)列的前幾項分別為1，1，2，3，5，8，……)

解析：這是“Fibonacci數(shù)列”的典型特征，從第三項起每一項都是它前兩項的和，即。

程序如下：

a=1

b=1

s=0

i=3

WHILE　 i<=20

s=s+a+b

t=a

a=b

b=b+t

i=i+1

WEND

PRINT s

END

點評：

題型1：輸入、輸出和賦值語句

例1．判斷下列給出的輸入語句、輸出語句和賦值語句是否正確？為什么？

(1)輸入語句 INPUT　 a；b；c

(2)輸出語句 A＝4

(3)賦值語句 3＝B

(4)賦值語句　 A＝B＝－2

解析：(1)錯，變量之間應(yīng)用“，”號隔開；

(2)錯，PRINT語句不能用賦值號“=”；

(3)錯，賦值語句中“=”號左右不能互換；

(4)錯，一個賦值語句只能給一個變量賦值。

點評：輸入語句、輸出語句和賦值語句基本上對應(yīng)于算法中的順序結(jié)構(gòu)。輸入語句、輸出語句和賦值語句都不包括“控制轉(zhuǎn)移”，由它們組成的程序段必然是順序結(jié)構(gòu)。

例2．請寫出下面運算輸出的結(jié)果。

(1)

(2)

(3)

解析：

(1)16；語句是將a，b和的一半賦值給變量c，語句是將c的平方賦值給d，最后輸出d的值。

(2)1，2，3；語句是將a，b的和賦值給c，語句是將的值賦值給了b。

(3)20，30，20；經(jīng)過語句后a，b，c的值是20，20，30。經(jīng)過語句后a，b，c的值是20，30，30。經(jīng)過語句后a，b，c的值是20，30，20。

點評：語句的識別問題是一個逆向性思維，一般我們認(rèn)為我們的學(xué)習(xí)是從算法步驟(自然語言)至程序框圖，再到算法語言(程序)。如果將程序擺在我們的面前時，我們要從識別逐個語句，整體把握，概括程序的功能。

題型2：賦值語句的應(yīng)用

例3．寫出求三個數(shù)a，b，c的方差的程序。

解析：方差是在初中統(tǒng)計內(nèi)容中學(xué)習(xí)過的知識，計算所有數(shù)的方差首先計算所有數(shù)的平均數(shù)，通過公式來計算。

算法步驟：

第一步：計算平均數(shù)；

第二步：計算方差；

第三步：得到的結(jié)果即為所求。

程序如下：

INPUT a，b，c

y=(a+b+c)/3

S=((a－y)²+ (b－y)²+ (c－y)²)/3

PRINT S

END

點評：套用公式求值問題是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)求值問題的一種，它是一種典型的順序結(jié)構(gòu)，也就是說只通過輸入、輸出和賦值語句就可以完成任務(wù)。解決這類問題的關(guān)鍵是先分析這種問題的解法，即構(gòu)造計算的過程，再寫出算法步驟和流程圖，再翻譯成算法語句即可。

例4．編寫一個程序，要求輸入的兩個正數(shù)a和b的值，輸出a^b和b^a的值。

解析：可以利用INPUT語句輸入兩個正數(shù)，然后將a^b和b^a的值分別賦給兩個變量輸出即可。也可以將a^b和b^a的底數(shù)和冪數(shù)進(jìn)行交換，故還可以利用賦值語句，采用將兩個變量的值互換的辦法實現(xiàn)。

程序1：

INPUT “a，b：”；a，b

A=a^b

B=b^a

PRINT “a^b=”；A，“b^a=”；B

END

程序2：

INPUT “a，b：”；a，b

A=a^b

PRINT “a^b=”；A

x=a

a=b

b=x

A=a^b

PRINT “a^b=”；A

END

點評：交換a，b的值可通過下面三個語句來實現(xiàn)：

通過引進(jìn)一個變量t實現(xiàn)變量a和b的值的交換，因此只需用賦值語句即可實現(xiàn)算法。在一些較為復(fù)雜的問題算法中經(jīng)常需要對兩個變量的值進(jìn)行交換，因此應(yīng)熟練掌握這種方法。

題型3：條件語句

例5．編寫程序，輸出兩個不相等的實數(shù)a、b的最大值。

解析：要輸出兩個不相等的實數(shù)a、b的最大值，從而想到對a，b的大小關(guān)系進(jìn)行判斷，a，b的大小關(guān)系有兩種情況：(1)a>b；(2)b>a，這也就用到了我們經(jīng)常提及的分類討論的方式，找出兩個數(shù)的最大值。

解：算法一：

第一步：輸入a， b的數(shù)值；

第二步：判斷a，b的大小關(guān)系，若a>b，則輸出a的值，否則輸出b的值。

(程序框圖如右圖)

程序如下：(“IF-THEN-ELSE”語句)

INPUT“a，b”；a，b

IF　 a＞b　 THEN

PRINT　 a

ELSE

PRINT　 b

END IF

END

算法二：

第一步：輸入a,b的數(shù)值；

第二步：判斷a,b的大小關(guān)系，若b > a，則將b的值賦予a；否則直接執(zhí)行第三步；

第三步：輸出a的值，結(jié)束。

(程序框圖如右圖)

程序如下：(“IF-THEN”語句)

INPUT“a，b”；a，b

IF　 b＞a　 THEN

a=b

END IF

PRINT　 a

END

點評：1．一個“好”的算法往往像上面教材例題中的“小技巧”，要熟練、有效的使用它們，則需要在大量的算法設(shè)計中積累經(jīng)驗。我們也可以先根據(jù)自己的思路設(shè)計算法，再與 “成形”的、高效的、優(yōu)秀的算法比較，改進(jìn)思路，改進(jìn)算法，以避免重復(fù)計算等問題，提高算法設(shè)計的水平！

2．我們在平常的訓(xùn)練中盡可能的少引用變量，過多的變量不僅會使得算法和程序變得復(fù)雜，而且不利于計算機的執(zhí)行。為此，我們在練習(xí)中要積極思考盡可能少引入變量以及如何才能少引入變量。

例6．高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到符號函數(shù)，符號函數(shù)的定義為，試編寫程序輸入x的值，輸出y的值。

程序一：(嵌套結(jié)構(gòu))

程序框圖：(右圖)

程序語言：

INPUT　 x

IF x>0 THEN

y=1

ELSE

IF x=0　 THEN

y=0

ELSE

y=－1

END IF

END IF

PRINT y

END

程序二：(疊加結(jié)構(gòu))

程序框圖：

程序如下：

INPUT　 x

IF x>0 THEN

y=1

END IF

IF x=0　 THEN

y=0

END IF

IF x<0　 THEN

y=－1

END IF

PRINT y

END

點評：1．條件結(jié)構(gòu)的差異，造成程序執(zhí)行的不同。當(dāng)代入x的數(shù)值時，“程序一”先判斷外層的條件，依次執(zhí)行不同的分支，才有可能判斷內(nèi)層的條件；而“程序二”中執(zhí)行了對“條件1”的判斷，同時也對“條件2”進(jìn)行判斷，是按程序中條件語句的先后依次判斷所有的條件，滿足哪個條件就執(zhí)行哪個語句。

5．循環(huán)語句

(1)當(dāng)型循環(huán)語句

當(dāng)型(WHILE型)語句的一般格式為：

WHILE　 條件

循環(huán)體

WEND

說明：計算機執(zhí)行此程序時，遇到WHILE語句，先判斷條件是否成立，如果成立，則執(zhí)行WHILE和WEND之間的循環(huán)體，然后返回到WHILE語句再判斷上述條件是否成立，如果成立，再執(zhí)行循環(huán)體，這個過程反復(fù)執(zhí)行，直到一次返回到WHILE語句判斷上述條件不成立為止，這時不再執(zhí)行循環(huán)體，而是跳到WEND語句后，執(zhí)行WEND后面的語句。因此當(dāng)型循環(huán)又稱“前測試型”循環(huán)，也就是我們經(jīng)常講的“先測試后執(zhí)行”、“先判斷后循環(huán)”。

(2)直到型循環(huán)語句

直到型(UNTIL型)語句的一般格式為：

DO

循環(huán)體

LOOP　 UNTIL　 條件

說明：計算機執(zhí)行UNTIL語句時，先執(zhí)行DO和LOOP　 UNTIL之間的循環(huán)體，然后判斷 “LOOP　 UNTIL”后面的條件是否成立，如果條件成立，返回DO語句處重新執(zhí)行循環(huán)體。這個過程反復(fù)執(zhí)行，直到一次判斷 “LOOP　 UNTIL”后面的條件條件不成立為止，這時不再返回執(zhí)行循環(huán)體，而是跳出循環(huán)體執(zhí)行“LOOP　 UNTIL　 條件”下面的語句。

因此直到型循環(huán)又稱“后測試型”循環(huán)，也就是我們經(jīng)常講的“先執(zhí)行后測試”、“先循環(huán)后判斷”。

4．條件語句

(1)“IF-THEN-ELSE”語句

格式：

IF　 條件　 THEN

語句1

ELSE

語句2

END　 IF

說明：在“IF-THEN-ELSE”語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容；“語句2”表示不滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容；END　 IF表示條件語句的結(jié)束。計算機在執(zhí)行“IF-THEN-ELSE”語句時，首先對IF后的條件進(jìn)行判斷，如果符合條件，則執(zhí)行THEN后面的“語句1”；若不符合條件，則執(zhí)行ELSE后面的“語句2”。

(2)“IF-THEN”語句

格式：

IF　 條件 THEN

語句

END　 IF

說明：“條件”表示判斷的條件；“語句”表示滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容，條件不滿足時，直接結(jié)束判斷過程；END 　IF表示條件語句的結(jié)束。計算機在執(zhí)行“IF-THEN”語句時，首先對IF后的條件進(jìn)行判斷，如果符合條件就執(zhí)行THEN后邊的語句，若不符合條件則直接結(jié)束該條件語句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它后面的語句。

3．賦值語句

賦值語句的一般格式：變量=表達(dá)式

賦值語句中的“＝”稱作賦值號

作用：賦值語句的作用是將表達(dá)式所代表的值賦給變量；

要求：

(1)賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，右邊表達(dá)式可以是一個常量、變量或含變量的運算式。如：2=x是錯誤的；

(2)賦值號的左右兩邊不能對換。賦值語句是將賦值號右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號左邊的變量。如“A=B”“B=A”的含義運行結(jié)果是不同的，如x=5是對的，5=x是錯的，A+B=C是錯的，C=A+B是對的。

(3)不能利用賦值語句進(jìn)行代數(shù)式的演算。(如化簡、因式分解、解方程等)，如

這是實現(xiàn)不了的。在賦值號右邊表達(dá)式中每一個變量的值必須事先賦給確定的值。在一個賦值語句中只能給一個變量賦值。不能出現(xiàn)兩個或以上的“=”。但對于同一個變量可以多次賦值。

2．輸出語句

輸出語句的一般格式：PRINT“提示內(nèi)容”；表達(dá)式

例如：PRINT“S=”；S

功能：實現(xiàn)算法輸出信息(表達(dá)式)

要求：

(1)表達(dá)式是指算法和程序要求輸出的信息；

(2)提示內(nèi)容提示用戶要輸出的是什么信息，提示內(nèi)容必須加雙引號，提示內(nèi)容要用分號和表達(dá)式分開。

(3)如同輸入語句一樣，輸出語句可以一次完成輸出多個表達(dá)式的功能，不同的表達(dá)式之間可用“，”分隔；輸出語句還可以是“提示內(nèi)容1”；表達(dá)式1，“提示內(nèi)容2”；表達(dá)式2，“提示內(nèi)容3”；表達(dá)式3，……”的形式；例如：PRINT “a,b,c:”；a,b,c。

1．輸入語句

輸入語句的格式：INPUT “提示內(nèi)容”； 變量

例如：INPUT “x=”； x功能：實現(xiàn)算法的輸入變量信息(數(shù)值或字符)的功能。

要求：

(1)輸入語句要求輸入的值是具體的常量；

(2)提示內(nèi)容提示用戶輸入的是什么信息，必須加雙引號，提示內(nèi)容 “原原本本”的在計算機屏幕上顯示，提示內(nèi)容與變量之間要用分號隔開；

(3)一個輸入語句可以給多個變量賦值，中間用“，”分隔；輸入語句還可以是““提示內(nèi)容1”；變量1，“提示內(nèi)容2”；變量2，“提示內(nèi)容3”；變量3，……”的形式。例如：INPUT“a=，b=，c=，”；a，b，c。