2．詞形轉(zhuǎn)換

1)　　　　 The best ____________ (treat) for a cold is to rest and drink lots of water.

2)　　　　 Tom is a ____________ (trouble) child and often causes problems.

3)　　　　 We’ll never know the ____________ () behind the accident.

4)　　　　 He doesn’t speak much Japanese but he can make himself _____________ (understand).

5)　　　　 I would have been here an hour ago, but _________________ (fortunate) I missed the train.

6)　　　　 It’s not _________________ (usual) to feel nervous before an exam.

7)　　　　 The jacket is available in _________________(variety) colors.

8)　　　　 There is too much sex and v______________(violent) on TV these days.

9)　　　　 Times Square attracts more than 30 million ______________ (visit) annually.

10)　　 We bought a __________ (use) car because we couldn’t afford a new one.

1．單詞拼寫

1)　　　　 The island is shaped like a t_________________ (三角形)

2)　　　　 His t________________ (褲子) were slightly short.

3)　　　　 It started to rain, so Tricia stopped to put up her ______________.

4)　　　　 They hired a private t________________ to help their son with his English.

5)　　　　 His elder brother works as a t_________________(卡車)driver.

6)　　　　 He studied physics at Oxford U________________.

7)　　　　 Their most v_________________ (貴重的) belongs were locked in a safe in the bedroom.

8)　　　　 The shop sells fresh fruit and v________________.

9)　　　　 Their 2-1 v________________(勝利) over the Australians was completely unexpected.

10)　　 The travelers found the v______________ (村民) in the valley were very friendly

5．突出向量與其它數(shù)學(xué)知識的交匯

“新課程增加了新的現(xiàn)代數(shù)學(xué)內(nèi)容，其意義不僅在于數(shù)學(xué)內(nèi)容的更新，更重要的是引入新的思維方法，可以更有效地處理和解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際應(yīng)用問題”。因此，新課程卷中有些問題屬于新教材與舊教材的結(jié)合部，凡涉及此類問題，高考命題都采用了新舊結(jié)合，以新帶舊或以新方法解決的方法進(jìn)行處理，從中啟示我們在高考學(xué)習(xí)中，應(yīng)突出向量的工具性，注重向量與其它知識的交匯與融合，但不宜“深挖洞”。我們可以預(yù)測近兩年向量高考題的難度不會也不應(yīng)該上升到壓軸題的水平。

4．注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

①．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想方法。

由于向量本身具有代數(shù)形式和幾何形式雙重身份，所以在向量知識的整個學(xué)習(xí)過程中，都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，在解決問題過程中要形成見數(shù)思形、以形助數(shù)的思維習(xí)慣，以加深理解知識要點(diǎn)，增強(qiáng)應(yīng)用意識。

②．化歸轉(zhuǎn)化的思想方法。

向量的夾角、平行、垂直等關(guān)系的研究均可化歸為對應(yīng)向量或向量坐標(biāo)的運(yùn)算問題；三角形形狀的判定可化歸為相應(yīng)向量的數(shù)量積問題；向量的數(shù)量積公式，溝通了向量與實(shí)數(shù)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系；一些實(shí)際問題也可以運(yùn)用向量知識去解決。

③．分類討論的思想方法。

如向量可分為共線向量與不共線向量；平行向量(共線向量)可分為同向向量和反向向量；向量在方向上的投影隨著它們之間的夾角的不同，有正數(shù)、負(fù)數(shù)和零三種情形；定比分點(diǎn)公式中的隨分點(diǎn)P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。

3．向量知識，向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué).物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點(diǎn)，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視. 數(shù)量積的主要應(yīng)用：①求模長；②求夾角；③判垂直；

2．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

特別注意：

(1)結(jié)合律不成立：；

(2)消去律不成立不能得到；

(3)=0不能得到=或=。

1．兩個向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別

(1)兩個向量的數(shù)量積是一個實(shí)數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定；

(2)兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成·；今后要學(xué)到兩個向量的外積×，而×是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分.符號“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替；

(3)在實(shí)數(shù)中，若a¹0，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若¹0，且×=0，不能推出=。因?yàn)槠渲衏osq有可能為0；

(4)已知實(shí)數(shù)a、b、c(b¹0)，則ab=bc Þ a=c。但是×= ×；

如右圖：×= |||cosb = |||OA|，×c = ||c|cosa = |||OA|Þ× =×，但 ¹；

　(5)在實(shí)數(shù)中，有(×) = 　(×)，但是(×)¹ 　(×)，顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與共線的向量，而一般與c不共線。

題型1：數(shù)量積的概念

例1．判斷下列各命題正確與否：

(1)；

(2)；

(3)若，則；

(4)若，則當(dāng)且僅當(dāng)時成立；

(5)對任意向量都成立；

(6)對任意向量，有。

解析：(1)錯；(2)對；(3)錯；(4)錯；(5)錯；(6)對。

點(diǎn)評：通過該題我們清楚了向量的數(shù)乘與數(shù)量積之間的區(qū)別于聯(lián)系，重點(diǎn)清楚為零向量，而為零。

例2．(1)(2002上海春，13)若、、為任意向量，m∈R，則下列等式不一定成立的是(　　 )

A．　 　　　　　　　 B．

C．m()=m+m　 　　　　　 　　D．

(2)(2000江西、山西、天津理，4)設(shè)、、是任意的非零平面向量,且相互不共線,則

①(·)－(·)=　 ②||－||<|－|　 ③(·)－(·)不與垂直

④(3+2)(3－2)=9||²－4||²中，是真命題的有(　　 )

A.①②　 　　　　　　　　　　 B.②③　 　　　　　　　　　　 C.③④　 　　　　　　　　　　 D.②④

解析：(1)答案：D；因?yàn)?sub>，而；而方向與方向不一定同向。

(2)答案：D①平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律。故①假；②由向量的減法運(yùn)算可知||、||、|－|恰為一個三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊”，故②真；③因?yàn)椋?·)－(·)］·=(·)·－(·)·=0，所以垂直.故③假；④(3+2)(3－2)=9··－4·=9||²－4||²成立。故④真。

點(diǎn)評：本題考查平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律，向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律。

題型2：向量的夾角

例3．(1)(06全國1文，1)已知向量、滿足、，且，則與的夾角為(　　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D．

(2)(06北京文，12)已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么與的夾角的大小是　　　　　　　　　　　 。

(3)已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角。

(4)(2005北京3)| |=1，| 　|=2，= + ，且⊥，則向量與的夾角為　　　　 (　　 )

　　　 A．30°　　　　　　　　　 B．60°　　　　　　　　　 C．120°　　　　　　　　 D．150°

解析：(1)C；(2)；

(3)由題意，，且與的夾角為，

所以，，

，

，

同理可得。

而，

設(shè)為與的夾角，

則。

(4)C；設(shè)所求兩向量的夾角為

　　　 　即：

所以

點(diǎn)評：解決向量的夾角問題時要借助于公式，要掌握向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算。向量的模的求法和向量間的乘法計(jì)算可見一斑。對于這個公式的變形應(yīng)用應(yīng)該做到熟練，另外向量垂直(平行)的充要條件必需掌握。

例4．(1)(06全國1理，9)設(shè)平面向量、、的和。如果向量、、，滿足，且順時針旋轉(zhuǎn)后與同向，其中，則(　　 )

A．－++=　　　　　　　　　　 B．-+=

C．+-=　　　　　　　　　　　 D．++=

(2)(06湖南理，5)已知 且關(guān)于的方程有實(shí)根, 則與的夾角的取值范圍是(　　 )

A．　　　　　　 B．　　　　 C．　　　　　　 D．

解析：(1)D；(2)B；

點(diǎn)評：對于平面向量的數(shù)量積要學(xué)會技巧性應(yīng)用，解決好實(shí)際問題。

題型3：向量的模

例5．(1)(06福建文，9)已知向量與的夾角為，則等于(　 )

　 A．5　　B．4　　C．3　　D．1

(2)(06浙江文，5)設(shè)向量滿足,,則(　 )

A．1　　　　　 　　　B．2　　　　　 　　　C．4　　　　　 　　D．5

解析：(1)B；(2)D；

點(diǎn)評：掌握向量數(shù)量積的逆運(yùn)算，以及。

例6．已知＝(3，4)，＝(4，3)，求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1。

解析：由＝(3，4)，＝(4，3)，有x+y=(3x+4y,4x+3y)；

又(x+y)⊥(x+y)·＝03(3x+4y)+4(4x+3y)=0；

即25x+24y＝0　　　　　　　　　　　 ①；

又｜x+y｜=1｜x+y｜²＝1；

(3x+4y)²+(4x+3y)²＝1；

整理得25x²+48xy+25y²＝1即x(25x+24y)+24xy+25y²＝1　　 ②；

由①②有24xy+25y²＝1　　　　　　　 ③；

將①變形代入③可得：y=±；

再代回①得：。

點(diǎn)評：這里兩個條件互相制約，注意體現(xiàn)方程組思想。

題型4：向量垂直、平行的判定

例7．(2005廣東12)已知向量，，且，則　　　 。

解析：∵，∴，∴，∴。

例8．已知，，，按下列條件求實(shí)數(shù)的值。(1)；(2)；。

解析：

(1)；

(2)；

。

點(diǎn)評：此例展示了向量在坐標(biāo)形式下的平行、垂直、模的基本運(yùn)算。

題型5：平面向量在代數(shù)中的應(yīng)用

例9．已知。

　　 分析：，可以看作向量的模的平方，而則是、的數(shù)量積，從而運(yùn)用數(shù)量積的性質(zhì)證出該不等式。

　　 證明：設(shè)

　　 則。

點(diǎn)評：在向量這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，我們接觸了不少含不等式結(jié)構(gòu)的式子，如等。

例10．已知，其中。

　　 (1)求證：與互相垂直；

　　 (2)若與()的長度相等，求。

　　 解析：(1)因?yàn)?/p>

　　 所以與互相垂直。

　　 (2)，

　　 ，

　　 所以，

　　 ，

　　 因?yàn)椋?/p>

　 　所以，

　　 有，

　　 因?yàn)�，故�?/p>

　　 又因?yàn)椋?/p>

所以。

點(diǎn)評：平面向量與三角函數(shù)在“角”之間存在著密切的聯(lián)系。如果在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計(jì)考題，其形式多樣，解法靈活，極富思維性和挑戰(zhàn)性。若根據(jù)所給的三角式的結(jié)構(gòu)及向量間的相互關(guān)系進(jìn)行處理。可使解題過程得到簡化，從而提高解題的速度。

題型6：平面向量在幾何圖形中的應(yīng)用

例11．(2002年高考題)已知兩點(diǎn)，且點(diǎn)P(x，y)使得，成公差小于零的等差數(shù)列。

(1)求證；

(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，記與的夾角為，求。

解析：(1)略解：，由直接法得

(2)當(dāng)P不在x軸上時，

而

所以，當(dāng)P在x軸上時，，上式仍成立。

圖1

點(diǎn)評：由正弦面積公式得到了三角形面積與數(shù)量積之間的關(guān)系，由面積相等法建立等量關(guān)系。

例12．用向量法證明：直徑所對的圓周角是直角。

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O上任一點(diǎn)(不與A、B重合)，求證：∠APB＝90°。

證明：聯(lián)結(jié)OP，設(shè)向量，則且，

，即∠APB＝90°。

點(diǎn)評：平面向量是一個解決數(shù)學(xué)問題的很好工具，它具有良好的運(yùn)算和清晰的幾何意義。在數(shù)學(xué)的各個分支和相關(guān)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。

題型7：平面向量在物理中的應(yīng)用

例13．如圖所示，正六邊形PABCDE的邊長為b，有五個力、作用于同一點(diǎn)P，求五個力的合力。

解析：所求五個力的合力為，如圖3所示，以PA、PE為邊作平行四邊形PAOE，則，由正六邊形的性質(zhì)可知，且O點(diǎn)在PC上，以PB、PD為邊作平行四邊形PBFD，則，由正六邊形的性質(zhì)可知，且F點(diǎn)在PC的延長線上。

由正六邊形的性質(zhì)還可求得

故由向量的加法可知所求五個力的合力的大小為，方向與的方向相同。

2．向量的應(yīng)用

(1)向量在幾何中的應(yīng)用；

(2)向量在物理中的應(yīng)用。

1．向量的數(shù)量積

(1)兩個非零向量的夾角

已知非零向量a與a，作＝，＝，則∠AOA＝θ(0≤θ≤π)叫與的夾角；

說明：(1)當(dāng)θ＝0時，與同向；

(2)當(dāng)θ＝π時，與反向；

(3)當(dāng)θ＝時，與垂直，記⊥；

(4)注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的，范圍0°≤q≤180°。

(2)數(shù)量積的概念

已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=︱︱·︱︱cos叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)。規(guī)定；

向量的投影：︱︱cos=∈R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影；

(3)數(shù)量積的幾何意義： ·等于的長度與在方向上的投影的乘積。

(4)向量數(shù)量積的性質(zhì)

①向量的模與平方的關(guān)系：。

②乘法公式成立

；

；

③平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

交換律成立：；

對實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：；

分配律成立：。

④向量的夾角：cos==。

當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量與同方向時，θ=0⁰，當(dāng)且僅當(dāng)與反方向時θ=180⁰，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。

(5)兩個向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

已知兩個向量，則·=。

(6)垂直：如果與的夾角為90⁰則稱與垂直，記作⊥。

兩個非零向量垂直的充要條件：⊥·＝O，平面向量數(shù)量積的性質(zhì)。

(7)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式

設(shè)，則或。

如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式)。