2．掌握給出公垂線的兩條異面直線的距離、點到直線(或平面)的距離、直線與平面的距離及兩平行平面間距離的求法.

1.掌握兩條異面直線所成的角、直線與平面所成的角及二面角，掌握上述三類空間角的作法及運算.

5. 已知：如圖，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分別交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E－BD－C的度數(shù).

§6.4空間角和距離

4.如圖，過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，

且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°.

　 求證：平面ABC⊥平面BSC. 　　　　　　

3. 在60°二面角的棱上，有兩個點A、B，AC、BD分別是在這個二面角的兩個面內(nèi)垂直于AB的線段．已知：AB＝4cm，AC=6cm，BD＝8cm，求CD長．

2. 過正方形ABCD的頂點A作線段PA⊥平面ABCD，且PA=AB，則平面ABP與平面CDP所成二面角(小于或等于90°)的度數(shù)是_____．

1. 山坡面α與水平面成30°的角，坡面上有一條公路AB與坡角線BC成45°的角，沿公路向上去1公里時，路基升高_(dá)____米．

[例1]一直線與直二面角的兩個面所成的角分別為α，β，則α+β滿足(　　 ).

A.α+β<90⁰　　 B.α+β≤90⁰　 C.α+β>90⁰　 D.α+β≥90⁰

錯解:A.

錯因：忽視直線與二面角棱垂直的情況.

正解：B.

[例2].如圖，△ABC是簡易遮陽棚，A，B是南北方向上兩個定點，正東方向射出的太陽光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角應(yīng)為(　 ).

A．90°　　　 　B．60°　 　 　C．50°　　　 　D．45°

錯解:A.

正解：C

[例3]已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面邊長是10，高是12，過底面一邊AB，作與底面ABC成角的截面面積是_____.

錯解：.用面積射影公式求解：S_底=S截=.

錯因：沒有弄清截面的形狀不是三角形而是等腰梯形.

正解：.

[例4]點是邊長為4的正方形的中心，點，分別是，的中點．沿對角線把正方形折成直二面角D－AC－B．

(1)求的大�。�

(2)求二面角的大小．

錯解:不能認(rèn)識折疊后變量與不變量.不會找二面角的平面角.

正解：(1)如圖，過點E作EG⊥AC，垂足為G，過點F作FH⊥AC，垂足為H，則，．

因為二面角D－AC－B為直二面角，

又在中，，

．

．　

(2)過點G作GM垂直于FO的延長線于點M，連EM．

∵二面角D－AC－B為直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交線為AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂線定理，得EM⊥OF．

∴就是二面角的平面角．

在RtEGM中，，，，

∴．∴．

所以，二面角的大小為

[例5]如圖，平面α∥平面β∥平面γ，且β在α、γ之間，若α和β的距離是5，β和γ的距離是3，直線和α、β、γ分別交于A、B、C，AC＝12，則AB＝　　　 ，BC＝　　　　 .

解:作′⊥α，

∵　α∥β∥γ，∴　′與β、γ也垂直，

′與α、β、γ分別交于A₁、B₁、C₁.

因此，A₁B₁是α與β平面間的距離，B₁C₁是β與γ平 面間的距離，A₁C₁是α與γ之間的距離.　

∴　A₁B₁＝5，B₁C₁＝3，A₁C₁＝8，又知AC＝12

AB= ， ，BC= .

答：AB= ，BC＝ .

[例6] 如圖，線段PQ分別交兩個平行平面α、β于A、B兩點，線段PD分別交α、β于C、D兩點，線段QF分別交α、β于F、E兩點，若PA＝9，AB＝12，BQ＝12，△ACF的面積為72，求△BDE的面積.

解：∵平面QAF∩α＝AF，平面QAF∩β＝BE

又∵α∥β，∴　AF∥BE

同理可證：AC∥BD.∴∠FAC與∠EBD相等成互補(bǔ)

由FA∥BE，得：BE：AF＝QB：QA＝12：24＝1：2，∴BE=　

由BD∥AC，得：AC：BD＝PA：PB＝9：21＝3：7，∴BD=　

又∵△ACF的面積為72，即 ＝72

S=

=,

答：△BDE的面積為84平方單位.

[例7]如圖，B為ACD所在平面外一點，M、N、G分別為ABC、ABD、BCD的重心.

(1)求證：平面MNG∥平面ACD

(2)求S：S

解:(1)連結(jié)BM、BN、BG并延長交AC、AD、CD分別于P、F、H

∵　M、N、G分別為△ABC、△ABD、△BCD的重心，

則有：

連結(jié)PF、FH、PH有MN∥PF

又PF 平面ACD

∴　MN∥平面ACD

同理：MG∥平面ACD，MG∩MN＝M

∴　平面MNG∥平面ACD.

(2)由(1)可知：

∴MG=，又PH=

∴MG=　 ，

同理：NG= ，

∴　△MNG∽△ACD，其相似比為1：3

∴S：S₌　1：9

[例8]如圖，平面EFGH分別平行于CD、AB，E、F、G、H分別在BD、BC、AC、AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.

(1)求證：EFGH是矩形.

(2)求當(dāng)點E在什么位置時，EFGH的面積最大.

(1)證明：∵CD∥面EFGH,而面EFGH∩面BCD＝EF.∴CD∥EF

同理HG∥CD.∴EF∥HG

同理HE∥GF.∴四邊形EFGH為平行四邊形

由CD∥EF，HE∥AB

∴∠HEF為CD和AB所成的角或其補(bǔ)角，

又∵CD⊥AB.∴HE⊥EF.∴四邊形EFGH為矩形.

(2)解：由(1)可知在△BCD中EF∥CD，其中DE＝m，EB＝n

∴

由HE∥AB

∴

又∵四邊形EFGH為矩形

∴S_矩形EFGH＝HE·EF＝·b·a＝ab

∵m+n≥2，∴(m+n)²≥4mn

∴≤，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時取等號，即E為BD的中點時,

S_矩形EFGH=ab≤ab，

　　 矩形EFGH的面積最大為ab.

點評：求最值時經(jīng)常轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值、不等式求最值、導(dǎo)數(shù)求最值、線性規(guī)劃求最值等.

5．注意二面角的范圍是，找二面角的平面角時要注意與棱的垂直直線，這往往是二面角的平面角的關(guān)鍵所在.求二面角的大小還有公式,用的時候要進(jìn)行交代.在二面角棱沒有給出的情況下求二面角大小方法一：補(bǔ)充棱；方法二：利用“如果”；方法三：公式等，求二面角中解三角形時注意垂直(直角)、數(shù)據(jù)在不同的面上轉(zhuǎn)換.

4.在證明垂直時注意線線垂直、線面垂直及面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運用.