2．向量的運算

(1)向量加法

求兩個向量和的運算叫做向量的加法。

設，則+==。

規(guī)定：

(1)；

(2)向量加法滿足交換律與結合律；

向量加法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”

(1)用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。

(2) 三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點。

當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則。

向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加： ，但這時必須“首尾相連”。

(2)向量的減法

①相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。

記作,零向量的相反向量仍是零向量。關于相反向量有：　 (i)=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=。

②向量減法

向量加上的相反向量叫做與的差，

記作：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。

③作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量(、有共同起點)。

(3)實數(shù)與向量的積

①實數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作λ，它的長度與方向規(guī)定如下：

(Ⅰ)；

(Ⅱ)當時，λ的方向與的方向相同；當時，λ的方向與的方向相反；當時，，方向是任意的。

②數(shù)乘向量滿足交換律、結合律與分配律。

1．向量的概念

①向量

既有大小又有方向的量。向量一般用……來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：幾何表示法，；坐標表示法。向量的大小即向量的模(長度)，記作||即向量的大小，記作｜|。

向量不能比較大小，但向量的�？梢员容^大小。

②零向量

長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量＝｜｜＝0。由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關向量平行(共線)的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件。(注意與0的區(qū)別)

③單位向量

模為1個單位長度的向量，向量為單位向量｜｜＝1。

④平行向量(共線向量)

方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上，方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作∥。由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。

數(shù)學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的。

⑤相等向量

長度相等且方向相同的向量相等向量經過平移后總可以重合，記為。大小相等，方向相同。

本講內容屬于平面向量的基礎性內容，與平面向量的數(shù)量積比較出題量較小。以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質，重點考察向量的概念、向量的幾何表示、向量的加減法、實數(shù)與向量的積、兩個向量共線的充要條件、向量的坐標運算等。此類題難度不大，分值5~9分。

預測07年高考：

(1)題型可能為1道選擇題或1道填空題；

(2)出題的知識點可能為以平面圖形為載體表達平面向量、借助基向量表達交點位置或借助向量的坐標形式表達共線等問題。

(1)平面向量的實際背景及基本概念

通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；

(2)向量的線性運算

①通過實例，掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義；

②通過實例，掌握向量數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義；

③了解向量的線性運算性質及其幾何意義。

(3)平面向量的基本定理及坐標表示

①了解平面向量的基本定理及其意義；

②掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；

③會用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算；

④ 理解用坐標表示的平面向量共線的條件。

5．變?yōu)橹骶�、抓好訓練

變是本章的主題，在三角變換考查中，角的變換，三角函數(shù)名的變換，三角函數(shù)次數(shù)的變換，三角函數(shù)式表達形式的變換等比比皆是，在訓練中，強化變意識是關鍵，但題目不可太難，較特殊技巧的題目不做，立足課本，掌握課本中常見問題的解法，把課本中習題進行歸類，并進行分析比較，尋找解題規(guī)律。

針對高考中題目看，還要強化變角訓練，經常注意收集角間關系的觀察分析方法.另外如何把一個含有不同名或不同角的三角函數(shù)式化為只含有一個三角函數(shù)關系式的訓練也要加強，這也是高考的重點.同時應掌握三角函數(shù)與二次函數(shù)相結合的題目。

4．加強三角函數(shù)應用意識的訓練

1999年高考理科第20題實質是一個三角問題，由于考生對三角函數(shù)的概念認識膚淺，不能將以角為自變量的函數(shù)迅速與三角函數(shù)之間建立聯(lián)系，造成思維障礙，思路受阻.實際上，三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，也是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，它產生于生產實踐，是客觀實際的抽象，同時又廣泛地應用于客觀實際，故應培養(yǎng)實踐第一的觀點.總之，三角部分的考查保持了內容穩(wěn)定，難度穩(wěn)定，題量穩(wěn)定，題型穩(wěn)定，考查的重點是三角函數(shù)的概念、性質和圖象，三角函數(shù)的求值問題以及三角變換的方法。

3．解答三角高考題的策略。

(1)發(fā)現(xiàn)差異：觀察角、函數(shù)運算間的差異，即進行所謂的“差異分析”。

(2)尋找聯(lián)系：運用相關公式，找出差異之間的內在聯(lián)系。

(3)合理轉化：選擇恰當?shù)墓�式，促使差異的轉化。

2．證明三角等式的思路和方法。

(1)思路：利用三角公式進行化名，化角，改變運算結構，使等式兩邊化為同一形式。

(2)證明三角不等式的方法：比較法、配方法、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調性，利用正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。

從近年高考的考查方向來看，這部分常常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，有時也以大題的形式出現(xiàn)，分值約占5%因此能否掌握好本重點內容，在一定的程度上制約著在高考中成功與否。

1．兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在學習時應注意以下幾點：

(1)不僅對公式的正用逆用要熟悉，而且對公式的變形應用也要熟悉；

(2)善于拆角、拼角

如，等；

(3)注意倍角的相對性

(4)要時時注意角的范圍

(5)化簡要求

熟悉常用的方法與技巧，如切化弦，異名化同名，異角化同角等。

題型1：兩角和與差的三角函數(shù)

例1．已知，求cos。

分析：因為既可看成是看作是的倍角，因而可得到下面的兩種解法。

解法一：由已知sin+sin=1…………①，

cos+cos=0…………②，

①²+②²得 2+2cos；

∴ cos。

①²－②²得　 cos2+cos2+2cos()=－1，

即2cos()()=－1。

∴。

解法二：由①得…………③

由②得…………④

④÷③得

點評：此題是給出單角的三角函數(shù)方程，求復角的余弦值，易犯錯誤是利用方程組解sin、cos 、 sin 、 cos，但未知數(shù)有四個，顯然前景并不樂觀，其錯誤的原因在于沒有注意到所求式與已知式的關系本題關鍵在于化和為積促轉化，“整體對應”巧應用。

例2．已知求。

分析：由韋達定理可得到進而可以求出的值，再將所求值的三角函數(shù)式用tan表示便可知其值。

解法一：由韋達定理得tan，

所以tan

解法二：由韋達定理得tan，

所以tan

，

。

點評：(1)本例解法二比解法一要簡捷，好的解法來源于熟練地掌握知識的系統(tǒng)結構，從而尋找解答本題的知識“最近發(fā)展區(qū)”。(2)運用兩角和與差角三角函數(shù)公式的關鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關系，次數(shù)關系，三角函數(shù)名等抓住公式的結構特征對提高記憶公式的效率起到至關重要的作用，而且抓住了公式的結構特征，有利于在解題時觀察分析題設和結論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結構特征，聯(lián)想到相應的公式，從而找到解題的切入點。(3)對公式的逆用公式，變形式也要熟悉，如

題型2：二倍角公式

例3．化簡下列各式：

(1)，

(2)。

　 分析：(1)若注意到化簡式是開平方根和2以及其范圍不難找到解題的突破口；(2)由于分子是一個平方差，分母中的角，若注意到這兩大特征，，不難得到解題的切入點。

解析：(1)因為，

又因，

所以，原式=。

(2)原式=

　　 =。

點評：(1)在二倍角公式中，兩個角的倍數(shù)關系，不僅限于2是的二倍，要熟悉多種形式的兩個角的倍數(shù)關系，同時還要注意三個角的內在聯(lián)系的作用，是常用的三角變換。(2)化簡題一定要找準解題的突破口或切入點，其中的降次，消元，切割化弦，異名化同名，異角化同角是常用的化簡技巧。(3)公式變形，。

例4．若。

分析：注意的兩變換，就有以下的兩種解法。

解法一：由，

　

解法二：，

點評：此題若將的左邊展開成再求cosx，sinx的值，就很繁瑣，把，并注意角的變換2·運用二倍角公式，問題就公難為易，化繁為簡所以在解答有條件限制的求值問題時，要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系，一般方法是拼角與拆角，

如，

，

等。

題型3：輔助角公式

例5．已知正實數(shù)a,b滿足。

分析：從方程 的觀點考慮，如果給等式左邊的分子、分母同時除以a，則已知等式可化為關于程，從而可求出由，若注意到等式左邊的分子、分母都具有的結構，可考慮引入輔助角求解。

解法一：由題設得

　

解法二：

解法三：

點評：以上解法中，方法一用了集中變量的思想，是一種基本解法；解法二通過模式聯(lián)想，引入輔助角，技巧性較強，但輔助角公式，，或

在歷年高考中使用頻率是相當高的，應加以關注；解法三利用了換元法，但實質上是綜合了解法一和解法二的解法優(yōu)點，所以解法三最佳。

例6．(2000全國理，17)已知函數(shù)y＝cos²x+sinxcosx+1，x∈R.

(1)當函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；

(2)該函數(shù)的圖象可由y＝sinx(x∈R)的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到?

(理)(1)解析：y＝cos²x+sinxcosx+1

＝(2cos²x－1)++(2sinxcosx)+1

＝cos2x+sin2x+

＝(cos2x·sin+sin2x·cos)+

＝sin(2x+)+

y取得最大值必須且只需2x+＝+2kπ，k∈Z，

即x＝+kπ，k∈Z。

所以當函數(shù)y取得最大值時，自變量x的集合為{x|x＝+kπ，k∈Z}。

(2)將函數(shù)y＝sinx依次進行如下變換：

①把函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移，得到函數(shù)y＝sin(x+)的圖象；

②把得到的圖象上各點橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)

y＝sin(2x+)的圖象；

③把得到的圖象上各點縱坐標縮短到原來的倍(橫坐標不變)，得到函數(shù)

y＝sin(2x+)的圖象；

④把得到的圖象向上平移個單位長度，得到函數(shù)y＝sin(2x+)+的圖象；

綜上得到函數(shù)y＝cos²x+sinxcosx+1的圖象。

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，考查利用三角公式進行恒等變形的技能以及運算能力。

(2000全國文，17)已知函數(shù)y＝sinx+cosx，x∈R.

(1)當函數(shù)y取得最大值時，求自變量x的集合；

(2)該函數(shù)的圖象可由y＝sinx(x∈R)的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到?

解析：(1)y＝sinx+cosx＝2(sinxcos+cosxsin)＝2sin(x+)，x∈R

y取得最大值必須且只需x+＝+2kπ，k∈Z，

即x＝+2kπ，k∈Z。

所以，當函數(shù)y取得最大值時，自變量x的集合為{x|x＝+2kπ，k∈Z}

(2)變換的步驟是：

①把函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移，得到函數(shù)y＝sin(x+)的圖象；

②令所得到的圖象上各點橫坐標不變，把縱坐標伸長到原來的2倍，得到函數(shù)

y＝2sin(x+)的圖象；

經過這樣的變換就得到函數(shù)y＝sinx+cosx的圖象。

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質，利用三角公式進行恒等變形的技能及運算能力。

題型4：三角函數(shù)式化簡

例7．(1995全國理，22)求sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°的值。

解析：原式＝(1－cos40°)+(1+cos100°)+(sin70°－sin30°)

＝1+(cos100°－cos40°)+sin70°－

＝－sin70°sin30°+sin70°

＝－sin70°+sin70°＝。

點評：本題考查三角恒等式和運算能力。

例8．(06北京理，15)已知函數(shù).

(Ⅰ)求的定義域；

(Ⅱ)設的第四象限的角，且，求的值。

解析：(Ⅰ)由 得，

故在定義域為 (Ⅱ)因為，且是第四象限的角,

　 所以

 故

　　　　　 　　　　　

　　　　　

　　　　　

　　　 。

題型5：三角函數(shù)求值

例9．(06重慶理，17)設函數(shù)f(x)=cos²cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的圖象在y軸右側的第一個高點的橫坐標為。

(Ⅰ)求ω的值；

(Ⅱ)如果f(x)在區(qū)間上的最小值為，求a的值。

解析：(I)

依題意得 ．

(II)由(I)知，。

又當時，，故，從而在區(qū)間上的最小值為，故

例10．(06上海理，17)求函數(shù)＝2+的值域和最小正周期。

解析：y=cos(x+) cos(x－)+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+)，

∴函數(shù)y=cos(x+) cos(x－)+sin2x的值域是[－2,2],最小正周期是π。

題型6：三角函數(shù)綜合問題

例11．已知向量

　　　 (I)若求　　 (II)求的最大值。

解析：(1)_；

當=1時有最大值,此時_，最大值為_。

點評：本題主要考察以下知識點：1、向量垂直轉化為數(shù)量積為0；2，特殊角的三角函數(shù)值；3、三角函數(shù)的基本關系以及三角函數(shù)的有界性；4.已知向量的坐標表示求模，難度中等，計算量不大。

例12．(2001天津理，22)設0<θ<，曲線x²sinθ+y²cosθ=1和x²cosθ－y²sinθ=1有4個不同的交點。

(1)求θ的取值范圍；

(2)證明這4個交點共圓，并求圓半徑的取值范圍。

解析：(1)解方程組，得；

故兩條已知曲線有四個不同的交點的充要條件為，(0<θ<)0<θ<。

(2)設四個交點的坐標為(x_i，y_i)(i=1，2，3，4)，則：x_i²+y_i²=2cosθ∈(，2)(i=1，2，3，4)。

故四個交點共圓，并且這個圓的半徑r=cosθ∈().

點評：本題注重考查應用解方程組法處理曲線交點問題，這也是曲線與方程的基本方法，同時本題也突出了對三角不等關系的考查。

題型7：三角函數(shù)的應用

例13．有一塊扇形鐵板，半徑為R，圓心角為60°，從這個扇形中切割下一個內接矩形，即矩形的各個頂點都在扇形的半徑或弧上，求這個內接矩形的最大面積．

分析：本題入手要解決好兩個問題，

(1)內接矩形的放置有兩種情況，如圖2-19所示，應該分別予以處理；

(2)求最大值問題這里應構造函數(shù)，怎么選擇便于以此表達矩形面積的自變量。

解析：如圖2-19(1)設∠FOA=θ，則FG＝Rsinθ，

，

。

又設矩形EFGH的面積為S，那么

又∵0°＜θ＜60°，故當cos(2θ－60°)＝1，即θ=30′時，

如圖2-19 (2)，設∠FOA＝θ，則EF＝2Rsin(30°－θ)，在△OFG中，∠OGF＝150°

設矩形的面積為S．

那么S＝EFFG＝4R²sinθsin(30°-θ)

＝2R²［cos(2θ－30°)－cos30°]

又∵0＜θ＜30°，故當cos(2θ－30°)＝1

。