已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)f(x)=x2-

1

3

x3
（1）求f（x）的解析式
（2）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性
（3）設(shè)g（x）是函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的導(dǎo)函數(shù)．若a＞1且g（x）在區(qū)間[

1

2

，a]上的值域?yàn)?span id="ibqd3sa" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[

1

a

，1]，求a的值．

已知二次函數(shù)g（x）的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足g（x+1）=g（x）+2x+1，設(shè)函數(shù)f（x）=mg（x）-ln（x+1），其中m為非零常數(shù)
（1）求函數(shù)g（x）的解析式；
（2）當(dāng)-2＜m＜0時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性并且說(shuō)明理由；
（3）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

恒成立．

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，滿足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是-

1

4

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)直線l：y=t²-t（其中0＜t＜

1

2

，t為常數(shù)），若直線l與f（x）的圖象以及y軸所圍成封閉圖形的面積是S₁（t），直線l與f（x）的圖象所圍成封閉圖形的面積是S₂（t），設(shè)g(t)=S1(t)+

1

2

S2(t)，當(dāng)g（t）取最小值時(shí)，求t的值．
（3）已知m≥0，n≥0，求證：

1

2

(m+n)2+

1

4

(m+n)≥m

n

+n

m

．

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，滿足f（0）=f（1）=0，且f（x）的最小值是-

1

4

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)直線l：y=t²-t（其中0＜t＜

1

2

，t為常數(shù)），若直線l與f（x）的圖象以及y軸所圍成封閉圖形的面積是S₁（t），直線l與f（x）的圖象所圍成封閉圖形的面積是S₂（t），設(shè)g（t）=S₁（t）+

1

2

S₂（t），當(dāng)g（t）取最小值時(shí)，求t的值．

已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²-kx³．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的單調(diào)性；
（Ⅲ）若k=

1

3

，設(shè)g（x）是函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上的導(dǎo)函數(shù)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)a，滿足a＞1并且使g（x）在區(qū)間[

1

2

，a]上的值域?yàn)?span id="dd6fded" class="MathJye">[

1

a

，1]，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．