設(shè)動點(diǎn)P到點(diǎn)A(-1，0)和B(1，0)的距離分別為d₁和d₂，∠APB=2θ，且存在常數(shù)λ(0＜λ＜1)，使得d₁d₂sin²θ=λ，
（1）證明：動點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線，并求出C的方程；
（2）過點(diǎn)B作直線交雙曲線C的右支于M、N兩點(diǎn)，試確定λ的范圍，使=0，其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

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設(shè)四點(diǎn)A、B、C、D均在雙曲線x²-y²=1的右支上．
（1）若=（實(shí)數(shù)λ≠0），證明：（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（2）若|AB|=2，P是線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作該雙曲線的兩條漸近線的垂線，垂足為M、N，求四邊形OMPN的面積的最大值．

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設(shè)四點(diǎn)A、B、C、D均在雙曲線x²-y²=1的右支上．
（1）若=（實(shí)數(shù)λ≠0），證明：（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（2）若|AB|=2，P是線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作該雙曲線的兩條漸近線的垂線，垂足為M、N，求四邊形OMPN的面積的最大值．

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在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)的距離之和為4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，直線y=kx+1與C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）寫出C的方程；
（2）若，求k的值；
（3）若點(diǎn)A在第一象限，證明：當(dāng)k＞0時，恒有．

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在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)的距離之和為4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，直線y=kx+1與C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）寫出C的方程；
（2）若，求k的值；
（3）若點(diǎn)A在第一象限，證明：當(dāng)k＞0時，恒有．

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一、選擇題

       1．Ｃ            2．Ｂ            3．Ｂ            4．Ｄ                   5．B              6．Ｃ    

7．Ｄ            8．Ｃ       9．C       10．C

二、填空題

       11．           12．                  13．                   14．2            15．30°

三、解答題

16．解：（Ⅰ）由，根據(jù)正弦定理得，所以，

由為銳角三角形得．………………………………………………7分

（Ⅱ）根據(jù)余弦定理，得．

所以，．………………………………………………14分

17．解：（Ⅰ）記表示事件：“位顧客中至少位采用一次性付款”，則表示事件：“位顧客中無人采用一次性付款”．

，

．………………………………………………7分

（Ⅱ）記表示事件：“位顧客每人購買件該商品，商場獲得利潤不超過元”．

表示事件：“購買該商品的位顧客中無人采用分期付款”．

表示事件：“購買該商品的位顧客中恰有位采用分期付款”．

則．

，．

．……………………………………14分

18．解法一：（1）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面．

因?yàn)?sub>，所以，又，故為等腰直角三角形，，

由三垂線定理，得．………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

依題設(shè)，

故，由，，．

又，作，垂足為，

則平面，連結(jié)．為直線與平面所成的角．

所以，直線與平面所成角的正弦值為．………………………………………………14分

解法二：（Ⅰ）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得平面．

因?yàn)?sub>，所以．

又，為等腰直角三角形，．

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正向，建立直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?sub>，，

又，所以，

，．

，，，，所以．…………………7分

（Ⅱ），.

與的夾角記為，與平面所成的角記為，因?yàn)?sub>為平面的法向量，所以與互余．

，，

所以，直線與平面所成角的正弦值為．………………………14分

19．解：（Ⅰ），

因?yàn)楹瘮?shù)在及取得極值，則有，．

即

解得，．………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

．

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

當(dāng)時，．

所以，當(dāng)時，取得極大值，又，．

則當(dāng)時，的最大值為．

因?yàn)閷τ谌我獾?sub>，有恒成立，

所以　，

解得　或，

因此的取值范圍為．………………………14分

20．解：（Ⅰ）設(shè)的公差為，的公比為，則依題意有且

解得，．

所以，

．………………………6分

（Ⅱ）．

，①

，②

②－①得，

．………………………12分

21．證明：（Ⅰ）橢圓的半焦距，

由知點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，

故，

所以，．………………………6分

（Ⅱ）（?）當(dāng)的斜率存在且時，的方程為，代入橢圓方程，并化簡得．

設(shè)，，則

，，

；

因?yàn)?sub>與相交于點(diǎn)，且的斜率為．

所以，．

四邊形的面積

．

當(dāng)時，上式取等號．………………………10分

（?）當(dāng)的斜率或斜率不存在時，四邊形的面積．……………………11分

綜上，四邊形的面積的最小值為．………………………12分