如圖，已知等邊△ABC中，AB=4．
實踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標明相應的字母（保留作圖痕跡，不寫作法）：①以線段AB為直徑作圓，圓心為O，AC、BC分別與⊙O交于點D、E；②延長AB到點P，使BP=OB，連接PE．
推理與運用：請根據(jù)上述作圖解答下面問題：
（1）判斷PE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若點F是⊙O上一點，且點B是弧EF的中點，則弦EF的長為______．

如圖①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，AD是BC邊上的高．作正方形DEFG，使點A、C分別在DG和DE上，且DE=BC，且連接AE、BG．
（1）試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你得到的結(jié)論；
（2）將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后（旋轉(zhuǎn)角度大于0°，或小于90°），DG、DE分別交AB、AC于點M和N（如圖②），則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．
（3）在（2）的情況下，當AE∥BC時，求AM的值．

已知：以原點O為圓心、5為半徑的半圓與y軸交于A、G兩點，AB與半圓相切于點A，點B的坐標為（3，y_B）（如圖1）；過半圓上的點C（x_C，y_C）作y軸的垂線，垂足為D；Rt△DOC的面積等于

3

8

x_C²．
（1）求點C的坐標；
（2）①命題“如圖2，以y軸為對稱軸的等腰梯形MNPQ與M₁N₁P₁Q₁的上底和下底都分別在同一條直線上，NP∥MQ，PQ∥P₁Q₁，且NP＞MQ．設拋物線y=a₀x²+h₀過點P、Q，拋物線y=a₁x²+h₁過點P₁、Q₁，則h₀＞h₁”是真命題．請你以Q（3，5）、P（4，3）和Q₁（p，5）、P₁（p+1，3）為例進行驗證；
②當圖1中的線段BC在第一象限時，作線段BC關(guān)于y軸對稱的線段FE，連接BF、CE，點T是線段BF上的動點（如圖3）；設K是過T、B、C三點的拋物線y=ax²+bx+c的頂點，求K的縱坐標y_K的取值范圍．

已知：在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB為邊作等邊三角形ABD．探究下列問題：
（1）如圖1，當點D與點C位于直線AB的兩側(cè)時，a=b=3，且∠ACB=60°，則CD=；
（2）如圖2，當點D與點C位于直線AB的同側(cè)時，a=b=6，且∠ACB=90°，則CD=；
（3）如圖3，當∠ACB變化，且點D與點C位于直線AB的兩側(cè)時，求 CD的最大值及相應的∠ACB的度數(shù)．