如圖，⊙O的半徑為1，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，），∠CAB=90°，AC=AB，頂點(diǎn)A在⊙O上運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)點(diǎn)A在y軸上時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸的負(fù)半軸上時(shí)，試判斷直線BC與⊙O位置關(guān)系，并說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)A在y軸右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為x，△ABC的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出S的取值范圍；
（4）當(dāng)直線AB與⊙O在第一象限內(nèi)相切時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以P、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

如圖：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA在x軸上,頂點(diǎn)B(4，2)在拋物線上，且拋物線交x軸于另一點(diǎn)D(6，0)，拋物線的對稱軸交BC邊于E，直線AE分別交y軸于F、交OB于P。

(1)求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解析式；

(2)若以點(diǎn)O為圓心，OP為半徑作⊙O，試判斷AE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

(3)若動(dòng)直線MN⊥x軸于N交拋物線于M，且在y軸的右側(cè)運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)M使得△AMN與△ABP相似？若存在請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

等腰直角△ABC和⊙O如圖放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半徑為1，圓心O與直線AB的距離為5．現(xiàn)△ABC以每秒2個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，同時(shí)△ABC的邊長AB、BC又以每秒0.5個(gè)單位沿BA、BC方向增大．
（1）當(dāng)△ABC的邊（BC邊除外）與圓第一次相切時(shí)，點(diǎn)B移動(dòng)了多少距離？
（2）若在△ABC移動(dòng)的同時(shí)，⊙O也以每秒1個(gè)單位的速度向右移動(dòng)，則△ABC從開始移動(dòng)，到它的邊與圓最后一次相切，一共經(jīng)過了多少時(shí)間？
（3）在（2）的條件下，是否存在某一時(shí)刻，△ABC與⊙O的公共部分等于⊙O的面積？若存在，求出恰好符合條件時(shí)兩個(gè)圖形移動(dòng)了多少時(shí)間？若不存在，請說明理由．