如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝90°，O為BC的中點，動點E在AB邊上移動，動點F在AC邊上移動．

    (1)點E，F的移動過程中，△OEF是否能成為∠EOF＝45°的等腰三角形？若能，求BE的長；若不能，請說明理由；

    (2)當∠EOF＝45°時，設BE＝x，CF＝y，求y與x之間的函數解析式，并寫出x的取值范圍．

如圖1所示，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O為BC的中點，動點E在BA邊上自由移動，動點F在AC邊上自由移動．
（1）點E，F的移動過程中，△OEF是否能成為∠EOF=45°的等腰三角形？若能，請指出△OEF為等腰三角形時動點E，F的位置；若不能，請說明理由；
（2）當∠EOF=45°時，設BE=x，CF=y，求y與x之間的函數解析式，寫出x的取值范圍；
（3）在滿足（2）中的條件時，若以O為圓心的圓與AB相切（如圖2），試探究直線EF與⊙O的位置關系，并證明你的結論．