已知一拋物線經(jīng)過O（0，0），B（1，1）兩點(diǎn)，且解析式的二次項(xiàng)系數(shù)為-（a＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求該拋物線的解析式，并用配方法求出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）已知點(diǎn)A（0，1），若拋物線與射線AB相交于點(diǎn)M，與x軸相交于點(diǎn)N（異于原點(diǎn)），當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，ON+BM的值為常數(shù)？當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，ON-BM的值為常數(shù)？
（Ⅲ）若點(diǎn)P（t，t）在拋物線上，則稱點(diǎn)P為拋物線的不動點(diǎn)．將這條拋物線進(jìn)行平移，使其只有一個不動點(diǎn)，此時拋物線的頂點(diǎn)是否在直線y=x-上，請說明理由．

如圖，已知拋物線y=（a+2）x²+4ax+a²-1經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，交x軸的正半軸于點(diǎn)D．
（1）求a的值；
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M，利用尺規(guī)，在拋物線的對稱軸上，作點(diǎn)N，使得△OMN為等腰三角形．若不止一個，則分別記作N₁、N₂、N₃、…；
（3）若點(diǎn)P為拋物線對稱軸右側(cè)部分上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB∥x軸交拋物線左側(cè)部分于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，問：是否存在這樣的點(diǎn)P，使得矩形PACB恰好為正方形？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

已知一拋物線經(jīng)過O（0，0），B（1，1）兩點(diǎn)，且解析式的二次項(xiàng)系數(shù)為-（a＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求該拋物線的解析式，并用配方法求出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）已知點(diǎn)A（0，1），若拋物線與射線AB相交于點(diǎn)M，與x軸相交于點(diǎn)N（異于原點(diǎn)），當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，ON+BM的值為常數(shù)？當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時，ON-BM的值為常數(shù)？
（Ⅲ）若點(diǎn)P（t，t）在拋物線上，則稱點(diǎn)P為拋物線的不動點(diǎn)．將這條拋物線進(jìn)行平移，使其只有一個不動點(diǎn)，此時拋物線的頂點(diǎn)是否在直線y=x-上，請說明理由．