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如圖,三棱錐中,側(cè)面底面, ,且,.(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)若為側(cè)棱PB的中點(diǎn),求直線AE與底面所成角的正弦值.
【解析】第一問中,利用由知, ,
又AP=PC=2,所以AC=2,
又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,
又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,
平面ACP,所以第二問中結(jié)合取AC中點(diǎn)O,連接PO、OB,并取OB中點(diǎn)H,連接AH、EH,因?yàn)镻A=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易證平面ABC,又EH//PO,所以EH平面ABC ,
則為直線AE與底面ABC 所成角,
解
(Ⅰ) 證明:由用由知, ,
又AP=PC=2,所以AC=2,
又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,
又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,
平面ACP,所以
………………………………………………6分
(Ⅱ)如圖, 取AC中點(diǎn)O,連接PO、OB,并取OB中點(diǎn)H,連接AH、EH,
因?yàn)镻A=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易證平面ABC,
又EH//PO,所以EH平面ABC ,
則為直線AE與底面ABC 所成角,
且………………………………………10分
又PO=1/2AC=,也所以有EH=1/2PO=,
由(Ⅰ)已證平面PBC,所以,即,
故,
于是
所以直線AE與底面ABC 所成角的正弦值為
1 |
h2 |
1 |
a2 |
1 |
b2 |
(1)現(xiàn)將PA向上平移至圖
(2)若將PA向上平移至⊙O外,結(jié)論還成立嗎?如圖
(1) (2) (3)
圖
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