如圖,三棱錐中,側(cè)面底面, ,且,.(Ⅰ)求證:平面;

(Ⅱ)若為側(cè)棱PB的中點(diǎn),求直線AE與底面所成角的正弦值.

【解析】第一問中，利用由知, ,

又AP=PC=2,所以AC=2,

又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,

又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,

平面ACP,所以第二問中結(jié)合取AC中點(diǎn)O,連接PO、OB,并取OB中點(diǎn)H,連接AH、EH,因?yàn)镻A=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易證平面ABC,又EH//PO,所以EH平面ABC ,

則為直線AE與底面ABC 所成角,

解

 (Ⅰ) 證明:由用由知, ,

又AP=PC=2,所以AC=2,

又AB=4, BC=2,,所以,所以,即,

又平面平面ABC,平面平面ABC=AC, 平面ABC,

平面ACP,所以

………………………………………………6分

(Ⅱ)如圖, 取AC中點(diǎn)O,連接PO、OB,并取OB中點(diǎn)H,連接AH、EH,

因?yàn)镻A=PC,所以PO⊥AC,同(Ⅰ)易證平面ABC,

又EH//PO,所以EH平面ABC ,

則為直線AE與底面ABC 所成角,

且………………………………………10分

又PO=1/2AC=,也所以有EH=1/2PO=,

由(Ⅰ)已證平面PBC,所以,即,

故,

于是

所以直線AE與底面ABC 所成角的正弦值為

 

在直角△ABC中，兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，直角頂點(diǎn)C到斜邊的距離為h，則易證

1

h2

=

1

a2

+

1

b2

．在四面體SABC中，側(cè)棱SA，SB，SC兩兩垂直，SA=a，SB=b，SC=c，點(diǎn)S到平面ABC的距離為h，類比上述結(jié)論，寫出h與a，b，c的等式關(guān)系并證明．

如圖2-4-23(1),OA和OB是⊙O的半徑,且OA⊥OB,P是OA上任一點(diǎn),BP的延長(zhǎng)線交⊙O于Q,過Q的⊙O的切線交OA的延長(zhǎng)線于R,易證RP=RQ(不要求證明).

(1)現(xiàn)將PA向上平移至圖2-4-23(2)位置,結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)證明.

(2)若將PA向上平移至⊙O外,結(jié)論還成立嗎?如圖2-4-23(3),若成立,請(qǐng)證明.

            

(1)                                              (2)                                         (3)

                                            圖2-4-23

在直角△ABC中，兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，直角頂點(diǎn)C到斜邊的距離為h，則易證．在四面體SABC中，側(cè)棱SA，SB，SC兩兩垂直，SA=a，SB=b，SC=c，點(diǎn)S到平面ABC的距離為h，類比上述結(jié)論，寫出h與a，b，c的等式關(guān)系并證明．

在直角△ABC中，兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，直角頂點(diǎn)C到斜邊的距離為h，則易證．在四面體SABC中，側(cè)棱SA，SB，SC兩兩垂直，SA=a，SB=b，SC=c，點(diǎn)S到平面ABC的距離為h，類比上述結(jié)論，寫出h與a，b，c的等式關(guān)系并證明．