題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令
.
當(dāng)時(shí)
單調(diào)遞減;當(dāng)
時(shí)
單調(diào)遞增,故當(dāng)
時(shí),
取最小值
于是對一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)
. ①
令則
當(dāng)時(shí),
單調(diào)遞增;當(dāng)
時(shí),
單調(diào)遞減.
故當(dāng)時(shí),
取最大值
.因此,當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí),①式成立.
綜上所述,的取值集合為
.
(Ⅱ)由題意知,令
則
令,則
.當(dāng)
時(shí),
單調(diào)遞減;當(dāng)
時(shí),
單調(diào)遞增.故當(dāng)
,
即
從而,
又
所以因?yàn)楹瘮?shù)
在區(qū)間
上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在
使
即
成立.
【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值
對一切x∈R,f(x)
1恒成立轉(zhuǎn)化為
從而得出求a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,然后把問題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問題,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.
已知點(diǎn)(
),過點(diǎn)
作拋物線
的切線,切點(diǎn)分別為
、
(其中
).
(Ⅰ)若,求
與
的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若以點(diǎn)為圓心的圓
與直線
相切,求圓
的方程;
(Ⅲ)若直線的方程是
,且以點(diǎn)
為圓心的圓
與直線
相切,
求圓面積的最小值.
【解析】本試題主要考查了拋物線的的方程以及性質(zhì)的運(yùn)用。直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。
中∵直線與曲線
相切,且過點(diǎn)
,∴
,利用求根公式得到結(jié)論先求直線
的方程,再利用點(diǎn)P到直線的距離為半徑,從而得到圓的方程。
(3)∵直線的方程是
,
,且以點(diǎn)
為圓心的圓
與直線
相切∴點(diǎn)
到直線
的距離即為圓
的半徑,即
,借助于函數(shù)的性質(zhì)圓
面積的最小值
(Ⅰ)由可得,
. ------1分
∵直線與曲線
相切,且過點(diǎn)
,∴
,即
,
∴,或
, --------------------3分
同理可得:,或
----------------4分
∵,∴
,
. -----------------5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
,則
的斜率
,
∴直線的方程為:
,又
,
∴,即
. -----------------7分
∵點(diǎn)到直線
的距離即為圓
的半徑,即
,--------------8分
故圓的面積為
. --------------------9分
(Ⅲ)∵直線的方程是
,
,且以點(diǎn)
為圓心的圓
與直線
相切∴點(diǎn)
到直線
的距離即為圓
的半徑,即
, ………10分
∴
,
當(dāng)且僅當(dāng),即
,
時(shí)取等號.
故圓面積的最小值
.
(本題滿分14分)已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)
處的切線的斜率為
,且在
處取得極小值。
(1)求的解析式;
(2)已知函數(shù)定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集
,若存在區(qū)間
,使得
在
的值域也是
,稱區(qū)間
為函數(shù)
的“保值區(qū)間”.
①當(dāng)時(shí),請寫出函數(shù)
的一個(gè)“保值區(qū)間”(不必證明);
②當(dāng)時(shí),問
是否存在“保值區(qū)間”?若存在,寫出一個(gè)“保值區(qū)間”并給予證明;若不存在,請說明理由.
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