題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分13分) 已知二項(xiàng)式
(1)求其展開式中第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù);
(2)求其展開式中第四項(xiàng)的系數(shù) 。
(本小題滿分13分)某廠用甲、乙兩種產(chǎn)品,已知生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品,1噸B產(chǎn)品分別需要的甲乙原料數(shù)、可獲得的利潤及該廠現(xiàn)有原料數(shù)如表:
產(chǎn)品 所需原料 | A產(chǎn)品(t) | B產(chǎn)品(t) | 現(xiàn)有原料(t) |
甲(t) | 2 | 1 | 14 |
乙(t) | 1 | 3 | 18 |
利潤(萬元) | 5 | 3 |
|
(1)在現(xiàn)有原料下,A、B產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少才能使利潤最大?
(2)如果1噸B產(chǎn)品的利潤增加到20萬元,原來的最優(yōu)解為何改變?
(3)如果1噸B產(chǎn)品的利潤減少1萬元,原來的最優(yōu)解為何改變?
(4)1噸B產(chǎn)品的利潤在什么范圍,原最優(yōu)解才不會(huì)改變?
(本小題滿分13分)
某市物價(jià)局調(diào)查了某種治療H1N1流感的常規(guī)藥品在2009年每個(gè)月的批發(fā)價(jià)格和該藥品在藥店的銷售價(jià)格,調(diào)查發(fā)現(xiàn),該藥品的批發(fā)價(jià)格按月份以12元/盒為中心價(jià)隨某一正弦曲線上下波動(dòng),且3月份的批發(fā)價(jià)格最高為14元/盒,7月份的批發(fā)價(jià)格最低為10元/盒.該藥品在藥店的銷售價(jià)格按月份以14元/盒為中心價(jià)隨另一正弦曲線上下波動(dòng),且5月份的銷售價(jià)格最高為16元/盒,9月份的銷售價(jià)格最低為12元/盒.
(Ⅰ)求該藥品每盒的批發(fā)價(jià)格f(x)和銷售價(jià)格g(x)關(guān)于月份的函數(shù)解析式;
(Ⅱ)假設(shè)某藥店每月初都購進(jìn)這種藥品p 盒,且當(dāng)月售完,求該藥店在2009年哪些月份是盈利的?說明你的理由.
(本小題滿分13分) 根據(jù)長沙市建設(shè)大河西的規(guī)劃,市旅游局?jǐn)M在咸嘉湖建立西湖生態(tài)文化公園. 如圖,設(shè)計(jì)方案中利用湖中半島上建一條長為的觀光帶AB,同時(shí)建一條連接觀光帶和湖岸的長為2
的觀光游廊BC,且BC與湖岸MN(湖岸可看作是直線)的夾角為60°,BA與BC的夾角為150°,并在湖岸上的D處建一個(gè)觀光亭,設(shè)CD=xkm(1<x<4).
(Ⅰ)用x分別表示tan∠BDC和tan∠ADM;
(Ⅱ)試確定觀光亭D的位置,使得在觀光亭D處觀賞
觀光帶AB的視覺效果最佳.
(本小題滿分13分)
已知橢圓的焦點(diǎn)為F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0),過點(diǎn)F2且垂直于軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B,且|BF1|+|BF2|=10,設(shè)點(diǎn)A,C為橢圓上不同兩點(diǎn),使得|AF2|,|BF2|,|CF2|成等差數(shù)列.
(Ⅰ) 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ) 求線段AC的中點(diǎn)的橫坐標(biāo);
(Ⅲ)求線段AC的垂直平分線在y軸上的截距的取值范圍.
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
1.A 2.D 3.D 4.C 5.C 6.B 7.C 8.A
二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
9.
10.60 11.
12.(1) (2)
13.1, 14.
,
注:兩個(gè)空的填空題第一個(gè)空填對得2分,第二個(gè)空填對得3分.
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
15.(本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列的公比為
,依題意有
, (1)
又,將(1)代入得
.所以
.
于是有
………………3分
解得或
………………6分
又是遞增的,故
.
………………7分
所以.
………………8分
(Ⅱ),
.
………………10分
故由題意可得,解得
或
.又
, …………….12分
所以滿足條件的的最小值為13.
………………13分
16. (本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)由 且
,
所以.
…………………4分
于是. …………7分
(Ⅱ)由正弦定理可得,
所以.
…………………….10分
由得
.
………………11分
即,
解得.即
=7 .
…………13分
17.(本小題滿分14分)
解法一:(Ⅰ)∵正方形,∴
又二面角是直二面角,
∴⊥平面
.
∵平面
,
∴⊥
.
又,
,
是矩形,
是
的中點(diǎn),
∴=
,
,
=
,
∴⊥
又
=
,
∴⊥平面
,
而平面
,故平面
⊥平面
……………………5分
(Ⅱ)如圖,由(Ⅰ)知平面⊥平面
,且交于
,在平面
內(nèi)作
⊥
,垂足為
,則
⊥平面
.
∴∠是
與平面
所成的角.
……………………7分
∴在Rt△中,
=
.
.
即與平面
所成的角為
.
………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ),⊥平面
.作
⊥
,垂足為
,連結(jié)
,則
⊥
,
∴∠為二面角
的平面角. ……………………….11分
∵在Rt△中,
=
,在Rt△
中,
.
∴在Rt△中,
………13分
即二面角的大小為arcsin
.
………………………………14分
解法二:
如圖,以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系
,
則(0,0,0),
(0,2
,0),
(0,2
,2
),
(
,
,0),
(
,0,0).
(Ⅰ) =(
,
,0),
=(
,
,0),
=(0,0,2
),
∴?
=(
,
,0)?(
,
,0)=0,
?
=(
,
,0)?(0,0,2
)= 0.
∴⊥
,
⊥
,
∴⊥平面
,又
平面
,故平面
⊥平面
. ……5分
(Ⅱ)設(shè)與平面
所成角為
.
由題意可得=(
,
,0),
=(0,2
,2
),
=(
,
,0).
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
=(
,
,1),
由.
.
∴與平面
所成角的大小為
.
……………..9分
(Ⅲ)因=(1,-1,1)是平面
的一個(gè)法向量,
又⊥平面
,平面
的一個(gè)法向量
=(
,0,0),
∴設(shè)與
的夾角為
,得
,
∴二面角的大小為
. ………………………………14分
18. (本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)設(shè)事件表示甲運(yùn)動(dòng)員射擊一次,恰好擊中9環(huán)以上(含9環(huán)),則
.
……………….3分
甲運(yùn)動(dòng)員射擊3次均未擊中9環(huán)以上的概率為
.
…………………5分
所以甲運(yùn)動(dòng)員射擊3次,至少有1次擊中9環(huán)以上的概率為
.
………………6分
(Ⅱ)記乙運(yùn)動(dòng)員射擊1次,擊中9環(huán)以上為事件,則
…………………8分
由已知的可能取值是0,1,2.
…………………9分
;
;
.
的分布列為
0
1
2
0.05
0.35
0.6
………………………12分
所以
故所求數(shù)學(xué)期望為.
………………………13分
19. (本小題滿分14分)
解:(Ⅰ)由已知 ,故
,所以直線
的方程為
.
將圓心代入方程易知
過圓心
. …………………………3分
(Ⅱ) 當(dāng)直線與
軸垂直時(shí),易知
符合題意; ………………4分
當(dāng)直線與軸不垂直時(shí),設(shè)直線
的方程為
,由于
,
所以由
,解得
.
故直線的方程為
或
. ………………8分
(Ⅲ)當(dāng)與
軸垂直時(shí),易得
,
,又
則
,故
. 即
.
………………10分
當(dāng)的斜率存在時(shí),設(shè)直線
的方程為
,代入圓的方程得
.則
,即
,
.又由
得
,
則.
故.
綜上,的值為定值,且
.
…………14分
另解一:連結(jié),延長交
于點(diǎn)
,由(Ⅰ)知
.又
于
,
故△∽△
.于是有
.
由得
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