題目列表(包括答案和解析)
已知曲線:
.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線
的斜率為1的切線方程;
(Ⅱ)設(shè)斜率為的兩條直線與曲線
相切于
兩點(diǎn),求證:
中點(diǎn)
在曲線
上;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,又已知直線的方程為:
,求
的值.
已知曲線:
.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線
的斜率為1的切線方程;
(Ⅱ)設(shè)斜率為的兩條直線與曲線
相切于
兩點(diǎn),求證:
中點(diǎn)
在曲線
上;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,又已知直線的方程為:
,求
的值.
拋物線的方程為
,過拋物線
上一點(diǎn)
(
)作斜率為
的兩條直線分別交拋物線
于
兩點(diǎn)(
三點(diǎn)互不相同),且滿足
(
且
).
(1)求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;
(2)設(shè)直線上一點(diǎn)
,滿足
,證明線段
的中點(diǎn)在
軸上;
(3)當(dāng)=1時(shí),若點(diǎn)
的坐標(biāo)為
,求
為鈍角時(shí)點(diǎn)
的縱坐標(biāo)
的取值范圍.
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
1.A 2.D 3.D 4.C 5.C 6.B 7.C 8.A
二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
9.
10.60 11.
12.(1) (2)
13.1, 14.
,
注:兩個(gè)空的填空題第一個(gè)空填對(duì)得2分,第二個(gè)空填對(duì)得3分.
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
15.(本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列的公比為
,依題意有
, (1)
又,將(1)代入得
.所以
.
于是有
………………3分
解得或
………………6分
又是遞增的,故
.
………………7分
所以.
………………8分
(Ⅱ),
.
………………10分
故由題意可得,解得
或
.又
, …………….12分
所以滿足條件的的最小值為13.
………………13分
16. (本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)由 且
,
所以.
…………………4分
于是. …………7分
(Ⅱ)由正弦定理可得,
所以.
…………………….10分
由得
.
………………11分
即,
解得.即
=7 .
…………13分
17.(本小題滿分14分)
解法一:(Ⅰ)∵正方形,∴
又二面角是直二面角,
∴⊥平面
.
∵平面
,
∴⊥
.
又,
,
是矩形,
是
的中點(diǎn),
∴=
,
,
=
,
∴⊥
又
=
,
∴⊥平面
,
而平面
,故平面
⊥平面
……………………5分
(Ⅱ)如圖,由(Ⅰ)知平面⊥平面
,且交于
,在平面
內(nèi)作
⊥
,垂足為
,則
⊥平面
.
∴∠是
與平面
所成的角.
……………………7分
∴在Rt△中,
=
.
.
即與平面
所成的角為
.
………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ),⊥平面
.作
⊥
,垂足為
,連結(jié)
,則
⊥
,
∴∠為二面角
的平面角. ……………………….11分
∵在Rt△中,
=
,在Rt△
中,
.
∴在Rt△中,
………13分
即二面角的大小為arcsin
.
………………………………14分
解法二:
如圖,以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系
,
則(0,0,0),
(0,2
,0),
(0,2
,2
),
(
,
,0),
(
,0,0).
(Ⅰ) =(
,
,0),
=(
,
,0),
=(0,0,2
),
∴?
=(
,
,0)?(
,
,0)=0,
?
=(
,
,0)?(0,0,2
)= 0.
∴⊥
,
⊥
,
∴⊥平面
,又
平面
,故平面
⊥平面
. ……5分
(Ⅱ)設(shè)與平面
所成角為
.
由題意可得=(
,
,0),
=(0,2
,2
),
=(
,
,0).
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
=(
,
,1),
由.
.
∴與平面
所成角的大小為
.
……………..9分
(Ⅲ)因=(1,-1,1)是平面
的一個(gè)法向量,
又⊥平面
,平面
的一個(gè)法向量
=(
,0,0),
∴設(shè)與
的夾角為
,得
,
∴二面角的大小為
. ………………………………14分
18. (本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)設(shè)事件表示甲運(yùn)動(dòng)員射擊一次,恰好擊中9環(huán)以上(含9環(huán)),則
.
……………….3分
甲運(yùn)動(dòng)員射擊3次均未擊中9環(huán)以上的概率為
.
…………………5分
所以甲運(yùn)動(dòng)員射擊3次,至少有1次擊中9環(huán)以上的概率為
.
………………6分
(Ⅱ)記乙運(yùn)動(dòng)員射擊1次,擊中9環(huán)以上為事件,則
…………………8分
由已知的可能取值是0,1,2.
…………………9分
;
;
.
的分布列為
0
1
2
0.05
0.35
0.6
………………………12分
所以
故所求數(shù)學(xué)期望為.
………………………13分
19. (本小題滿分14分)
解:(Ⅰ)由已知 ,故
,所以直線
的方程為
.
將圓心代入方程易知
過圓心
. …………………………3分
(Ⅱ) 當(dāng)直線與
軸垂直時(shí),易知
符合題意; ………………4分
當(dāng)直線與軸不垂直時(shí),設(shè)直線
的方程為
,由于
,
所以由
,解得
.
故直線的方程為
或
. ………………8分
(Ⅲ)當(dāng)與
軸垂直時(shí),易得
,
,又
則
,故
. 即
.
………………10分
當(dāng)的斜率存在時(shí),設(shè)直線
的方程為
,代入圓的方程得
.則
,即
,
.又由
得
,
則.
故.
綜上,的值為定值,且
.
…………14分
另解一:連結(jié),延長交
于點(diǎn)
,由(Ⅰ)知
.又
于
,
故△∽△
.于是有
.
由得
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