題目列表(包括答案和解析)
若數(shù)列的前
項(xiàng)和為
:;
(Ⅰ) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式
;
(Ⅱ) 設(shè)數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,是否存在實(shí)數(shù)
,使得
對(duì)一切正整數(shù)都成立?若存在,求出
的最小值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(12分)已知數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,且
(
為正整數(shù))
(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
已知數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,且
。數(shù)列
滿(mǎn)足
,
且,
。
(1)求數(shù)列,
的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,求使不等式
對(duì)一切
都成立的最大正整數(shù)
的值;
(3)設(shè),是否存在
,使得
成立?若存在,求出
的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
已知數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,點(diǎn)
在直線(xiàn)
上.數(shù)列
滿(mǎn)足
,且
,前9項(xiàng)和為153.
(1)求數(shù)列、
{的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),數(shù)列
的前
和為
,求使不等式
對(duì)一切
都成立的最大正整數(shù)
的值;
(3)設(shè),問(wèn)是否存在
,使得
成立?若存在,求出
的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
已知數(shù)列的前
項(xiàng)和
和通項(xiàng)
滿(mǎn)足
數(shù)列
中,
(1)求數(shù)列,
的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列滿(mǎn)足
是否存在正整數(shù)
,使得
時(shí)
恒成立?若存在,求
的最小值;若不存在,試說(shuō)明理由.
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
1.A 2.D 3.D 4.C 5.C 6.B 7.C 8.A
二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
9.
10.60 11.
12.(1) (2)
13.1, 14.
,
注:兩個(gè)空的填空題第一個(gè)空填對(duì)得2分,第二個(gè)空填對(duì)得3分.
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
15.(本小題滿(mǎn)分13分)
解:(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列的公比為
,依題意有
, (1)
又,將(1)代入得
.所以
.
于是有
………………3分
解得或
………………6分
又是遞增的,故
.
………………7分
所以.
………………8分
(Ⅱ),
.
………………10分
故由題意可得,解得
或
.又
, …………….12分
所以滿(mǎn)足條件的的最小值為13.
………………13分
16. (本小題滿(mǎn)分13分)
解:(Ⅰ)由 且
,
所以.
…………………4分
于是. …………7分
(Ⅱ)由正弦定理可得,
所以.
…………………….10分
由得
.
………………11分
即,
解得.即
=7 .
…………13分
17.(本小題滿(mǎn)分14分)
解法一:(Ⅰ)∵正方形,∴
又二面角是直二面角,
∴⊥平面
.
∵平面
,
∴⊥
.
又,
,
是矩形,
是
的中點(diǎn),
∴=
,
,
=
,
∴⊥
又
=
,
∴⊥平面
,
而平面
,故平面
⊥平面
……………………5分
(Ⅱ)如圖,由(Ⅰ)知平面⊥平面
,且交于
,在平面
內(nèi)作
⊥
,垂足為
,則
⊥平面
.
∴∠是
與平面
所成的角.
……………………7分
∴在Rt△中,
=
.
.
即與平面
所成的角為
.
………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ),⊥平面
.作
⊥
,垂足為
,連結(jié)
,則
⊥
,
∴∠為二面角
的平面角. ……………………….11分
∵在Rt△中,
=
,在Rt△
中,
.
∴在Rt△中,
………13分
即二面角的大小為arcsin
.
………………………………14分
解法二:
如圖,以為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系
,
則(0,0,0),
(0,2
,0),
(0,2
,2
),
(
,
,0),
(
,0,0).
(Ⅰ) =(
,
,0),
=(
,
,0),
=(0,0,2
),
∴?
=(
,
,0)?(
,
,0)=0,
?
=(
,
,0)?(0,0,2
)= 0.
∴⊥
,
⊥
,
∴⊥平面
,又
平面
,故平面
⊥平面
. ……5分
(Ⅱ)設(shè)與平面
所成角為
.
由題意可得=(
,
,0),
=(0,2
,2
),
=(
,
,0).
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
=(
,
,1),
由.
.
∴與平面
所成角的大小為
.
……………..9分
(Ⅲ)因=(1,-1,1)是平面
的一個(gè)法向量,
又⊥平面
,平面
的一個(gè)法向量
=(
,0,0),
∴設(shè)與
的夾角為
,得
,
∴二面角的大小為
. ………………………………14分
18. (本小題滿(mǎn)分13分)
解:(Ⅰ)設(shè)事件表示甲運(yùn)動(dòng)員射擊一次,恰好擊中9環(huán)以上(含9環(huán)),則
.
……………….3分
甲運(yùn)動(dòng)員射擊3次均未擊中9環(huán)以上的概率為
.
…………………5分
所以甲運(yùn)動(dòng)員射擊3次,至少有1次擊中9環(huán)以上的概率為
.
………………6分
(Ⅱ)記乙運(yùn)動(dòng)員射擊1次,擊中9環(huán)以上為事件,則
…………………8分
由已知的可能取值是0,1,2.
…………………9分
;
;
.
的分布列為
0
1
2
0.05
0.35
0.6
………………………12分
所以
故所求數(shù)學(xué)期望為.
………………………13分
19. (本小題滿(mǎn)分14分)
解:(Ⅰ)由已知 ,故
,所以直線(xiàn)
的方程為
.
將圓心代入方程易知
過(guò)圓心
. …………………………3分
(Ⅱ) 當(dāng)直線(xiàn)與
軸垂直時(shí),易知
符合題意; ………………4分
當(dāng)直線(xiàn)與軸不垂直時(shí),設(shè)直線(xiàn)
的方程為
,由于
,
所以由
,解得
.
故直線(xiàn)的方程為
或
. ………………8分
(Ⅲ)當(dāng)與
軸垂直時(shí),易得
,
,又
則
,故
. 即
.
………………10分
當(dāng)的斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)
的方程為
,代入圓的方程得
.則
,即
,
.又由
得
,
則.
故.
綜上,的值為定值,且
.
…………14分
另解一:連結(jié),延長(zhǎng)交
于點(diǎn)
,由(Ⅰ)知
.又
于
,
故△∽△
.于是有
.
由得
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