4．在正三棱錐P―ABC中.D.E分別是AB.BC的中點.有下列三個論斷: 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

在正三棱錐P-ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，有下列三個論斷：
①AC⊥PB；
②AC∥平面PDE；
③AB⊥平面PDE．
其中正確論斷的個數(shù)為（　�。�

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在正三棱錐P­ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，下列結論：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE，其中錯誤的結論個數(shù)是(    )

A．0
B．1
C．2
D．3

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在正三棱錐P ?ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，下列結論：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE，其中正確結論的序號是________．

 

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在正三棱錐P-ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，有下列三個結論：①AC⊥PB； ②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE．則所有正確結論的序號是______．

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在正三棱錐P-ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，有下列三個論斷：
①AC⊥PB；
②AC∥平面PDE；
③AB⊥平面PDE．
其中正確論斷的個數(shù)為（ ）
A．0個
B．1個
C．2個
D．3個

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一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

2,4,6

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9．120   10．5    11．   12．   13．1（2分），（3分）

14．4（2分），（3分）

三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15．（本小題滿分12分）

   （I）解：因為α為第二象限的角，，

所以，，………………………………………2分

 ……………………………………………………… 4分

又，

所以， …………………………… 6分

   （II）解：因為β為第三象限的角，，

所以， …………………………………………8分

又，………10分

所以， ………………12分

16．（本小題滿分12分）

   （I）解：記這兩套試驗方案在一次試驗中均不成功的事件為A，則至少有一套試驗成功的事件為

    由題意，這兩套試驗方案在一次試驗中不成功的概率均為1－p.

所以，，

 

從而，

令 ………………………………………6分

   （II）解：ξ的可取值為0，1，2. ……………………………………………7分

 ……………………………………………………10分

所以ξ的分布列為

ξ

0

1

2

P

0.49

0.42

0.09

ξ的數(shù)學期望……12分

解法一（I）證明：

連接A1B，設A1B∩AB1 = E，連接DE.

∵ABC―A1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，

∴四邊形A1ABB1是正方形，

∴E是A1B的中點，

又D是BC的中點，

∴DE∥A1C. ………………………… 3分

∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，

∴A1C∥平面AB1D. ……………………4分

   （II）解：在面ABC內作DF⊥AB于點F，在面A1ABB1內作FG⊥AB1于點G，連接DG.

∵平面A1ABB1⊥平面ABC，  ∴DF⊥平面A1ABB1，

∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影，  ∵FG⊥AB1， ∴DG⊥AB1

∴∠FGD是二面角B―AB1―D的平面角 …………………………7分

設A1A = AB = 1，在正△ABC中，DF=

在△ABE中，，

在Rt△DFG中，，

所以，二面角B―AB1―D的大小為 …………………………9分

   （III）解：∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，

∴AD⊥平面B1BCC1，又AD平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.

在平面B1BCC1內作CH⊥B1D交B1D的延長線于點H，

則CH的長度就是點C到平面AB1D的距離. ……………………………12分

由△CDH∽△B1DB，得

即點C到平面AB1D的距離是 ……………………………………14分

        建立空間直角坐標系D―xyz，如圖，

           （I）證明：

        連接A1B，設A1B∩AB1 = E，連接DE.

        設A1A = AB = 1，

        則

         …………………………3分

        ，

         ……………………………………4分

           （II）解：， ，

        設是平面AB1D的法向量，則，

        故；

        同理，可求得平面AB1B的法向量是 ……………………7分

        設二面角B―AB1―D的大小為θ，，

        ∴二面角B―AB1―D的大小為 …………………………9分

           （III）解由（II）得平面AB1D的法向量為，

        取其單位法向量

        ∴點C到平面AB1D的距離 ……………………14分

        18．（本小題滿分14分）

           （I）解：依題意，直線l顯然不平行于坐標軸，故

        將，得

              ① ………………………… 3分

        由直線l與橢圓相交于兩個不同的點，得

        ，

        即 …………………………………………………… 5分

           （II）解：設由①，得

        因為，代入上式，得  ……………8分

        于是，△OAB的面積

                               ………………11分

        其中，上式取等號的條件是 ……………………12分

         

        由

        將這兩組值分別代入①，均可解出

        所以，△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是 ………………14分

        19．（本小題滿分14分）

           （I）解：對函數(shù) ……………………… 2分

        要使上是增函數(shù)，只要上恒成立，

        即上恒成立 ……………………………………4分

        因為上單調遞減，所以上的最小值是，

        注意到a > 0，所以a的取值范圍是 ……………………………………6分

           （II）解：①當時，由（I）知，上是增函數(shù)，

        此時上的最大值是 ……………………8分

        ②當，

        解得 ……………………………………………………10分

        因為，

        所以上單調遞減，

        此時上的最大值是………… 13分

        綜上，當時，上的最大值是；

        當時，上的最大值是 ……………14分

        20．（本小題滿分14分）

           （I）解：顯然 ……………………………………1分

        當 ……………………………………3分

        所以，

                  …………………………6分

           （II）解：

           ………………………………………………9分

          

             ………………12分

        當

        所以，M的最小值為 ………………………………14分

         

         


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