平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P₀（1，0），P₁（2，1），且

PnPn+1

=-

1

2

Pn-1Pn

（n∈N^*）．當(dāng)n→+∞時(shí)，點(diǎn)P_n無限趨近于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為．

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（2，-1），B（-1，3），若點(diǎn)C滿足

OC

=α

OA

+β

OB

，其中0≤α，β≤1，且α+β=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為．

平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知⊙M經(jīng)過點(diǎn)F₁（0，-c），F(xiàn)₂（0，c），A（

3

c，0）三點(diǎn)，其中c＞0．
（1）求⊙M的標(biāo)準(zhǔn)方程（用含c的式子表示）；
（2）已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)（其中a²-b²=c²）的左、右頂點(diǎn)分別為D、B，⊙M與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、C，且A點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)，C點(diǎn)在D點(diǎn)右側(cè)．
①求橢圓離心率的取值范圍；
②若A、B、M、O、C、D（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）依次均勻分布在x軸上，問直線MF₁與直線DF₂的交點(diǎn)是否在一條定直線上？若是，請求出這條定直線的方程；若不是，請說明理由．

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)A（1，0），B（0，-2），點(diǎn)C滿足

OC

=α

OA

+β

OB

，其中α，β∈R，且α-2β=1．
（Ⅰ）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)C的軌跡與雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)交于兩點(diǎn)M，N，且以MN為直徑的圓過原點(diǎn)，求證：

1

a2

-

1

b2

為定值．