題目列表(包括答案和解析)
如圖所示,OA、OB、OC為不共面的三條射線,點A1、B1、C1分別是OA、OB、OC上的點,且=
=
成立.
求證:△A1B1C1∽△ABC.
[分析] 由初中所學平面幾何知識,可證明兩內角對應相等,進而證明兩個三角形相似.
由共線向量定理可以得到若=λ
(λ∈R),則M、A、B三點共線.利用所學知識探討:對任意一點O,且
=x
+y
,(x、y∈R),若P、A、B三點共線,那么,x、y應具備什么條件?
設是兩個不共線的非零向量.
(1)若=
,
=
,
=
,求證:A,B,D三點共線;
(2)試求實數(shù)k的值,使向量和
共線. (本小題滿分13分)
【解析】第一問利用=(
)+(
)+
=
=
得到共線問題。
第二問,由向量和
共線可知
存在實數(shù),使得
=
(
)
=
,結合平面向量基本定理得到參數(shù)的值。
解:(1)∵=(
)+(
)+
==
……………3分
∴ ……………5分
又∵∴A,B,D三點共線 ……………7分
(2)由向量和
共線可知
存在實數(shù),使得
=
(
)
……………9分
∴=
……………10分
又∵不共線
∴ ……………12分
解得
如圖,在直三棱柱中,底面
為等腰直角三角形,
,
為棱
上一點,且平面
平面
.
(Ⅰ)求證:點為棱
的中點;
(Ⅱ)判斷四棱錐和
的體積是否相等,并證明。
【解析】本試題主要考查了立體幾何中的體積問題的運用。第一問中,
易知,
面
。由此知:
從而有
又點
是
的中點,所以
,所以
點為棱
的中點.
(2)中由A1B1⊥平面B1C1CD,BC⊥平面A1ABD,D為BB1中點,可以得證。
(1)過點作
于
點,取
的中點
,連
。
面
面
且相交于
,面
內的直線
,
面
�!�3分
又面
面
且相交于
,且
為等腰三角形,易知
,
面
。由此知:
,從而有
共面,又易知
面
,故有
從而有
又點
是
的中點,所以
,所以
點為棱
的中點.
…6分
(2)相等.ABC-A1B1C1為直三棱柱,∴BB1⊥A1B1,BB1⊥BC,又A1B1⊥B1C1,BC⊥AB,
∴A1B1⊥平面B1C1CD,BC⊥平面A1ABD(9分)∴VA1-B1C1CD=1 /3 SB1C1CD•A1B1=1/ 3 ×1 2 (B1D+CC1)×B1C1×A1B1VC-A1ABD=1 /3 SA1ABD•BC=1 /3 ×1 2 (BD+AA1)×AB×BC∵D為BB1中點,∴VA1-B1C1CD=VC-A1ABD
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