題目列表(包括答案和解析)
已知點為圓
上的動點,且
不在
軸上,
軸,垂足為
,線段
中點
的軌跡為曲線
,過定點
任作一條與
軸不垂直的直線
,它與曲線
交于
、
兩點。
(I)求曲線的方程;
(II)試證明:在軸上存在定點
,使得
總能被
軸平分
【解析】第一問中設為曲線
上的任意一點,則點
在圓
上,
∴,曲線
的方程為
第二問中,設點的坐標為
,直線
的方程為
, ………………3分
代入曲線的方程
,可得
∵,∴
確定結(jié)論直線與曲線
總有兩個公共點.
然后設點,
的坐標分別
,
,則
,
要使被
軸平分,只要
得到。
(1)設為曲線
上的任意一點,則點
在圓
上,
∴,曲線
的方程為
. ………………2分
(2)設點的坐標為
,直線
的方程為
, ………………3分
代入曲線的方程
,可得
,……5分
∵,∴
,
∴直線與曲線
總有兩個公共點.(也可根據(jù)點M在橢圓
的內(nèi)部得到此結(jié)論)
………………6分
設點,
的坐標分別
,
,則
,
要使被
軸平分,只要
,
………………9分
即,
, ………………10分
也就是,
,
即,即只要
………………12分
當時,(*)對任意的s都成立,從而
總能被
軸平分.
所以在x軸上存在定點,使得
總能被
軸平分
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
5 |
3 |
PA |
PB |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
3 |
2
| ||
3 |
| ||||
|
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
3 |
2
| ||
3 |
1 |
2 |
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