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題目列表(包括答案和解析)

（A）將圓M：x2＋y2＝a（a＞0）的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標縮短為原來的，正好與直線x－y＝1相切，若以原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，則圓M的極坐標方程為　      

    （B）關于x的不等式：2－x2＞|x－a|至少有一個負數解，則實數a的取值范圍是   

 

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（A）將圓M：x2＋y2＝a（a＞0）的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標縮短為原來的，正好與直線x－y＝1相切，若以原點為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，則圓M的極坐標方程為　      
（B）關于x的不等式：2－x2＞|x－a|至少有一個負數解，則實數a的取值范圍是   

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設θ∈（π，π），則關于x、y的方程x2cscθ－y2secθ=1所表示的曲線是（    ）

A.實軸在y軸上的雙曲線   　　　　　　　　    B.實軸在x軸上的雙曲線

C.長軸在y軸上的橢圓   　　　　　　　　　　    D.長軸在x軸上的橢圓

 

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設θ∈（π，π），則關于x、y的方程x2cscθ－y2secθ=1所表示的曲線是（    ）

A.實軸在y軸上的雙曲線   　　　　　　　　    B.實軸在x軸上的雙曲線

C.長軸在y軸上的橢圓   　　　　　　　　　　    D.長軸在x軸上的橢圓

 

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（08年西工大附中文）已知函數f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-與x=1時都取得極值．

  (1)求a、b的值及函數f(x)的單調區(qū)間；

  (2)若對x∈[－1，2]，不等式f(x)＜c2恒成立，求c的取值范圍．

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一．選擇題：DABBB ACACA

解析：1：由題干可得：故選.

2：為拋物線的內部（包括周界），為動圓的內部（包括周界）.該題的幾何意義是為何值時，動圓進入區(qū)域，并被所覆蓋.

是動圓圓心的縱坐標，顯然結論應是，故可排除，而當時，（可驗證點到拋物線上點的最小距離為）.故選.

 

3：由f(x＋2)＝－f(x)得f(7.5)＝－f(5.5)＝f(3.5)＝－f(1.5)＝f(－0.5)，由f(x)是奇函數，得f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，所以選B.

 

4：取a＝100，b＝10，此時P＝，Q＝＝lg，R＝lg55＝lg，比較可知選PQR，所以選B

5： f(x＋)＝sin[－2(x＋)]＋sin[2(x＋)]＝－f(x)，而f(x＋π)＝sin[－2(x＋π)]＋sin[2(x＋π)]＝f(x).所以應選B；

 

6：在同一直角坐標系中作出圓x＋y＝4和直線4x＋3y－12=0后，由圖可知距離最小的點在第一象限內，所以選A.

7：不等式的“極限”即方程，則只需驗證x=2，2.5，和3哪個為方程的根，逐一代入，選C.

8：當正n棱錐的頂點無限趨近于底面正多邊形中心時，則底面正多邊形便為極限狀態(tài)，此時棱錐相鄰兩側面所成二面角α→π，且小于π；當棱錐高無限大時，正n棱柱便又是另一極限狀態(tài)，此時α→π，且大于π，故選（A）.

9：取滿足題設的特殊函數f(x)=x，g(x)=|x|,則f(b)-f(-a)=a+b，g(a)-g(-b)=a-b，又f(a)-f(-b)=a+b，g(b)-g(-a)=b-a；∴選(C).

 

10:作直線和圓的圖象,從圖中可以看出:

的取值范圍應選(A).

 

 

二．填空題：11、；  12、；

13、；   14、(x－1)2＋(y－1)2＝2；15、；

解析：

11：根據不等式解集的幾何意義，作函數和

函數的圖象（如圖），從圖上容易得出實數a的取

值范圍是。

12：　應用復數乘法的幾何意義，得

　　　　　

　　　　　　，

于是　　　     故應填　

13：中獎號碼的排列方法是：　奇位數字上排不同的奇數有種方法，偶位數字上排偶數的方法有，從而中獎號碼共有種，于是中獎面為

  故應填

14：解：由得=，

，化簡得(x－1)2＋(y－1)2＝2

15.解：依題意，=2，5，=15，=

三．解答題：

16.解：（1）由，解之得  ……………………5分

（2）  …………………………9分

         …………………………11分

  …………………………12分

17.解：（I）的取值為1，3，又

    
     
    
      
      
    ξ
    1
    3
    P
     
     
           ∴ξ的分布列為                                  
…………………………5分
     
           ∴Eξ=1×+3×=.                       
………………………………6分
       （II）當S8=2時，即前八秒出現“○”5次和“×”3次，又已知
           若第一、三秒出現“○”，則其余六秒可任意出現“○”3次；
           若第一、二秒出現“○”，第三秒出現“×”，則后五秒可任出現“○”3次.
           故此時的概率為…………12分
    18.解：（Ⅰ）∵函數是奇函數，則
    即   ∴   …………………………2分
    由得   解得 
    ∴，．   …………………………5分
    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，     ∴，
  ………………6分
    當時，  …………………………8分
     ∴，即函數在區(qū)間上為減函數．   …………………………9分
    （Ⅲ）由＝0，得   …………………………11分
      ∵當，，∴ ， 

     即函數在區(qū)間上為增函數   …………………………13分
    ∴是函數的最小值點，即函數在取得最小值.  ………14分
    19.解：（Ⅰ）設正三棱柱―的側棱長為．取中點，連．
    是正三角形，．  …………………………2分
    又底面側面，且交線為．
側面．
    連，則直線與側面所成的角為．
  ……………………4分
    在中，，解得．
    此正三棱柱的側棱長為．  …………………………5分
    （Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標系．
    則．  …………………………7分
    設為平面的法向量．
    由 得． 
    取                      
…………………………9分
    又平面的一個法向量 
    ． 
    結合圖形可知，二面角的大小為  …………………………11分
     
    （Ⅲ）：由（Ⅱ）得  …………………………12分
    點到平面的距離＝
                                                
…………………………14分
    20.解：（Ⅰ）當時，原不等式即，解得，
        ∴ 即------------------------------2分
    (Ⅱ)原不等式等價于
    ……………………………………………..4分
    ………………………………………………………..6分
    ∴……8分
    （Ⅲ）∵
    n=1時，；n=2時， 
    n=3時，；n=4時，
    n=5時，；n=6時，…………………………………………9分
    猜想：時 下面用數學歸納法給出證明
    ①當n=5時，，已證…………………………………………………….10分
    ②假設時結論成立即
    那么n=k+1時，
    在范圍內，恒成立,則，即
    由①②可得，猜想正確，即時，…………………………………..  13分
    綜上所述：當n=2,4時,;當n=3時,;當n=1或時;---14分
    21．解：（Ⅰ）由條件得M(0，－)，F(0，).設直線AB的方程為
           y=kx+，A(，)，B(，)
           則，，Q().   …………………………2分
           由得.
           ∴由韋達定理得+=2pk，?=－    …………………………3分
           從而有= +=k(+)+p=2pk÷p.
           ∴?的取值范圍是.      …………………………4分
      
（Ⅱ）拋物線方程可化為，求導得.
           ∴       =y     .
           ∴切線NA的方程為：y－即.
           切線NB的方程為：  …………………………6分
           由解得∴N()
           從而可知N點Q點的橫坐標相同但縱坐標不同.
           ∴NQ∥OF.即    …………………………7分
           又由（Ⅰ）知+=2pk，?=－p
           ∴N(pk，－).      …………………………8分
           而M(0，－)  ∴
           又. ∴.       …………………………9分
      
（Ⅲ）由.又根據(Ⅰ)知
           ∴4p=pk，而p>0，∴k=4，k=±2.   …………………………10分
           由于=(－pk，p)，  
           ∴
           從而.        
…………………………11分
           又||=，||=
           ∴.
           而的取值范圍是［5，20］.
           ∴5≤5p2≤20，1≤p2≤4.   …………………………13分
           而p>0，∴1≤p≤2.
           又p是不為1的正整數.
           ∴p=2.
           故拋物線的方程：x2=4y.      …………………………14分
    		
	
	
    
		
    


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