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已知函數，將函數圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍（縱坐不變），得到函數的圖象，則關于有下列命題，其中真命題的個數是
①函數是奇函數；
②函數不是周期函數；
③函數的圖像關于點(π，0)中心對稱；
④函數的最大值為.

A．1

B．2

C．3

D．4

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一．選擇題：AACBD DCDAD

解析：1：可以判定對應法則是從A到C的函數（，且是該函數的值域），于是對于實數,在集合A中不存在原象,則的取值范圍構成集合，注意到，故，.

從而答案為A.

2： 前三年年產量的增長速度越來越快，總產量C與時間t（年）的函數關系，在圖上反映出來，當時是選項A、C中的形狀；又后三年年產量保持不變，總產量C與時間t（年）的函數關系應如選項A所示,于是選A.

3： 利用圖象法求之．其中F(x)= 于是選C

4：由題意得_，      于是  于是選B

5：⑴靜放在點的小球（小球的半徑不計）從點沿直線出發(fā)，經橢圓壁右頂點反彈后第一次回到點時，小球經過的路程是，則選B；

⑵靜放在點的小球（小球的半徑不計）從點沿直線出發(fā)，經橢圓壁左頂點反彈后第一次回到點時，小球經過的路程是，則選C；

⑶靜放在點的小球（小球的半徑不計）從點沿直線出發(fā)，經橢圓壁非左右頂點反彈后第一次回到點時，小球經過的路程是，則選A。

于是三種情況均有可能，故選D。

6：用條件代入計算，不難得到結論為D.

7：解法一   因ysinx+cosx=2，故．

由，得 ，于是．   因0＜x＜π，故y＞0．又當時，．若x=,有，故y_min=，選C．

解法二    由已知得：ysinx = 2 - cosx，于是y²(1-cos²x) = (2-cosx)²．

將上式整理得：(y²+1)cos²x-4cosx+4-y²=0．于是，ㄓ=16-4(y²+1)(4-y²)=4y²(y²-3)≥0．

因0＜x＜π，故y＞0，于是y≥，而當y=時，ㄓ=0，cosx=，x=滿足題設，于是y_min=，選C．

解法三  設，則，當且僅當

，即，亦即x=時，取“=”，故y_min=，選C．

解法四   如圖，單位圓中，∠MOt = ，P(2,0)，M(cosx，sinx)，．

因，故∠AOP=，∠APt =，

，從而，(k_PM)_min=．

8：由于函數的圖像關于原點中心對稱，則

為奇函數，于是，，從而，，當，驗正之選D．

9：集合A的子集為共8個，

集合A的一個分拆可以列表如下：

A₁

A₂

A₁

A₂

， 

，，

，

，，，，，

共有27個，選A.

 10：從10個不同的點中任取4個點的不同取法共有=210種，它可分為兩類：4點共面與不共面．

       如圖1，4點共面的情形有三種：

       ①取出的4點在四面體的一個面內（如圖中的AHGC在面ACD內），這樣的取法有種；

②取出的4面所在的平面與四面體的一組對棱平行（如圖中的EFGH與AC、BD平行），這種取法有3種（因為對棱共3組，即AC與BD、BC與AD、AB與CD）；

③取出的4點是一條棱上的三點及對棱中點（如圖中的AEBG），這樣的取法共6種．

綜上所述，取出4個不共面的點的不同取法的種數為-（+3+6）=141種．

故所求的概率為，答案選D．

二．填空題：11、91萬元；   12、； 13、②⑦④；    ②④⑦；   ④②⑦；   ⑤②④；   ⑤④②；   ④⑤②．  14、：y²=x；    15、；

解析：

11：不少于1萬元的占700萬元的21%， 為700×21%=147萬元．

1萬元以上的保單中，超過或等于2.5萬元的保單占，

金額為×147=91萬元，故不少于2.5萬元的保險單有91萬元。

12：原不等式可化為：（1），即；

（2）解得；（3）即， 綜上得：

13：根據三角函數的圖像的變換情況，不難得出下列6種變換：

②⑦④；    ②④⑦；   ④②⑦；   ⑤②④；   ⑤④②；   ④⑤②．

14：依題意有 ，即，消去參數，可得：y²=x

15：連結AD、DE，則AD=DE， ，又，

，，即=，即，

三．解答題：

16．解：（1）      ………………2分

       ……………………………………6分

   （2）

①當時，當縣僅當時，取得最小值－1，這與已知矛盾；…8分

②當時，取得最小值，由已知得

；……………………………………………………………10分

③當時，取得最小值，由已知得

  解得，這與相矛盾，綜上所述，為所求�！�…………………12分

17、解：（1）記“拋擲1枚硬幣1次出現正面向上”為事件A，P（A）=，拋擲15枚硬幣1次相當于作15次獨立重復試驗，根據次獨立重復試驗中事件A發(fā)生K次的概率公式，記至多有一枚正面向上的概率為P₁

則P₁= P₁₅（0）+ P₁₅（1）=+=          ……………6分

  （2）記正面向上為奇數枚的概率為P₂，則有

P₂= P₁₅（1）+ P₁₅（3）+…+ P₁₅（15）=++…+

        =+…+)?     ………………………10分

又“出現正面向上為奇數枚”的事件與“出現正面向上為偶數枚”的事件是對立事件，記“出現正面向上為偶數枚”的事件的概率為P₃

 P₃=1?=         

出現正面向上為奇數枚的概率與出現正面向上為偶數枚的概率相等   ………12分

18、解：（Ⅰ）；                              ……2分

（Ⅱ）性質①、②均可推廣，推廣的形式分別是：

①，         ②    ……4分

事實上，在①中，當時,左邊，    右邊，等式成立；

當時，左邊

            ，  因此,①成立；               ……6分

在②中，當時,左邊右邊，等式成立；

當時，

左邊

右邊，

因此  ②成立。                ……8分

（Ⅲ）先求導數，得.

令>0,解得x<或 x>.

因此，當時,函數為增函數,              ……11分
當時,函數也為增函數。

令<0,解得<x<.
因此,當時,函數為減函數.                ……13分

所以，函數的增區(qū)間為，

函數的減區(qū)間為                  ……14分

19、解：（Ⅰ）如圖所示：

C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）

………………………………………………………5分

（Ⅱ）①

……………………………………………………………………………8分

②,

，

③；         ……………………………………14分

20、解：（1）依題意，⊙的半徑，

⊙與⊙彼此外切，

                   …………………………………2分   

    兩邊平方，化簡得     ,

    即      ,           …………………………………4分

     ，             

       ，    ∴ 數列是等差數列．     …………………7分

(2) 由題設，，∴，即，          

    ，

           …………………………………9分                    

      ＝ ………………12分     

＝

      ．    …………………………………14分

21：（Ⅰ）證明：由題意設

       由得，則              所以

       因此直線MA的方程為　　　

直線MB的方程為…………………2分

       所以①  ②

由①、②得　  因此　，即

所以A、M、B三點的橫坐標成等差數列. …………………4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當x₀=2時，  將其代入①、②并整理得：

       　　所以　x₁、x₂是方程的兩根，

       因此   又  

所以                                     …………………6分

       由弦長公式得

又， 所以p=1或p=2，

因此所求拋物線方程為或…………………8分

（Ⅲ）解：設D(x₃,y₃)，由題意得C(x₁+ x₂, y₁+ y₂),

        則CD的中點坐標為

       設直線AB的方程為

       由點Q在直線AB上，并注意到點也在直線AB上，

       代入得

       若D（x₃,y₃）在拋物線上，則

       因此　x₃=0或x₃=2x₀.

        即D(0，0)或    …………………10分

（1）當x₀=0時，則，此時，點M(0,-2p)適合題意. ………………11分

（2）當，對于D(0，0)，此時

       又AB⊥CD， 所以………………12分

即矛盾.

對于因為此時直線CD平行于y軸，

又

所以　　直線AB與直線CD不垂直，與題設矛盾，

所以時，不存在符合題意的M點.

綜上所述，僅存在一點M(0，-2p)適合題意. ………………………………14分