如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

．
（Ⅰ）求四棱錐S-ABCD的體積；
（Ⅱ）求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值．

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如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，
SA=AB=BC=2a，AD=a．
（Ⅰ）求點(diǎn)C到平面SBD的距離；
（Ⅱ）求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值．

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如圖，在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，且∠ADC=arcsin

5

5

，又PA⊥平面ABCD，AD=3AB=3PA=3a，
（I）求二面角P-CD-A的正切值；
（II）求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

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如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=

1

2

．
（1）求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）求證：面SAB⊥面SBC；
（3）求SC與底面ABCD所成角的正切值．

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如圖，在底面是直角梯形的四棱錐    P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4．AD=2，AB=2

3

，BC=6．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的余弦值．

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一、選擇題（每小題5分，共60分）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

D

B

B

A

D

C

D

B

C

A

D

二、填空題（每小題4分，共16分）

13、120； 14、20； 15、；16、2．

三、解答題

17、解：（Ⅰ）由正弦定理得，

即  ……2分

得，因為，所以，得   ……3分，因為，

所以，又為三角形的內(nèi)角，所以      ……2分

（Ⅱ），由及得 ……2分

，

又，所以當(dāng)時，取最大值  ……3分

18、解：（Ⅰ）設(shè)公差為，由，得，

       ，因為數(shù)列{}的各項均為正數(shù)，

     所以得  ……3分  又，所以 ……2分

      由，得  ……1分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得……2分

  于是

         ……4分

19、（Ⅰ）如圖，連結(jié)，因為、

分別是棱、的中點(diǎn)，

所以……2分

因為平面，，不在平面

內(nèi)，所以平面 ……3分

（Ⅱ）解：因為平面，

所以，因為是直角梯形，

且，所以，又，所以平面，即是三棱錐的高  ……4分  

因為是棱的中點(diǎn)，所以，

于是三棱錐的體積  ……3分

20、解：從5名同學(xué)、、、、中選出3名同學(xué)的基本事件空間為：

，共含有10個基本事件   ……3分

（Ⅰ）設(shè)事件為“同學(xué)被選取”，則事件包含6個基本事件，

      事件發(fā)生的概率為   ……3分

（Ⅱ）設(shè)事件為“同學(xué)和同學(xué)都被選取”，則事件包含3個基本事件，

      事件發(fā)生的概率為    ……3分

（Ⅲ）設(shè)事件為“同學(xué)和同學(xué)中至少有一個被選取”，則事件包含9個基本事件，事件發(fā)生的概率為   ……3分

21、解：（Ⅰ）由得  ……2分

由點(diǎn)（，0），（0，）知直線的方程為，

于是可得直線的方程為    ……2分

因此，得，，，

所以橢圓的方程為   ……2分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知、的坐標(biāo)依次為（2，0）、，

因為直線經(jīng)過點(diǎn)，所以，得，

即得直線的方程為  ……2分

因為，所以，即   ……1分

設(shè)的坐標(biāo)為，則

得，即直線的斜率為4    ……2分

又點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此直線的方程為 ……1分

22、解：（Ⅰ），因為在時取得極值，

所以是方程的根，即 ……2分

得，又因為，

所以的取值范圍是    ……2分

（Ⅱ）當(dāng)時，， ，

      因為，當(dāng)時，，在內(nèi)單調(diào)遞減……2分

      當(dāng)時，，令解得

     或，令，解得，

     于是當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增，

在內(nèi)單調(diào)遞減   ……2分

（Ⅲ）因為函數(shù)在時有極值，所以有，

消去得，解之得或，又，所以取，

此時  ……2分

因此，，

可得當(dāng)時取極大值，

當(dāng)時取極小值  ……2分

如圖，方程有三個不相等的實數(shù)根，等價于直線與曲線

有三個不同的交點(diǎn)，由圖象得  ……2分