已知函數(shù)f(x)=e^x-ax，其中a＞0.

（1）若對一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A（x₁, f(x₁)）,B(x₂, f(x₂))(x₁<x₂)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x₀∈（x₁,x₂）,使恒成立.

【解析】解：令.

當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最小值

于是對一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).　　　　　　　�、�

令則

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.

故當(dāng)時(shí)，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（Ⅱ）由題意知，令則

令，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.故當(dāng)，即

從而，又

所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使即成立.

【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運(yùn)算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合；第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，然后把問題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問題，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.

 

已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)，若對任意，，不等式 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【解析】第一問利用的定義域是     

由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（1,3）；單調(diào)遞減區(qū)間是

第二問中，若對任意不等式恒成立，問題等價(jià)于只需研究最值即可。

解： （I）的定義域是     ．．．．．．1分

              ．．．．．．．．．．．．． 2分

由x>0及 得1<x<3；由x>0及得0<x<1或x>3，

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（1,3）；單調(diào)遞減區(qū)間是     ．．．．．．．．4分

（II）若對任意不等式恒成立，

問題等價(jià)于，                   ．．．．．．．．．5分

由（I）可知，在上，x=1是函數(shù)極小值點(diǎn)，這個(gè)極小值是唯一的極值點(diǎn)，

故也是最小值點(diǎn)，所以；            ．．．．．．．．．．．．6分

當(dāng)b<1時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)b>2時(shí)，；             ．．．．．．．．．．．．8分

問題等價(jià)于 ．．．．．．．．11分

解得b<1 或 或    即，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是