(2)對于橢圓C上任意一點M .試證:總存在角(∈R)使等式:＝cos+sin成立. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

精英家教網(wǎng)圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦．若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦．已知點P（x0，y0）、M（m，n）是圓錐曲線C上不與頂點重合的任意兩點，MN是垂直于x軸的一條垂軸弦，直線MP、NP分別交x軸于點E（xE，0）和點F（xF，0）．
（1）試用x0，y0，m，n的代數(shù)式分別表示xE和xF；
（2）若C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)（如圖），求證：xE•xF是與MN和點P位置無關(guān)的定值；
（3）請選定一條除橢圓外的圓錐曲線C，試探究xE和xF經(jīng)過某種四則運算（加、減、乘、除），其結(jié)果是否是與MN和點P位置無關(guān)的定值，寫出你的研究結(jié)論并證明．

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圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦．若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦．已知點P（x，y）、M（m，n）是圓錐曲線C上不與頂點重合的任意兩點，MN是垂直于x軸的一條垂軸弦，直線MP、NP分別交x軸于點E（xE，0）和點F（xF，0）．
（1）試用x，y，m，n的代數(shù)式分別表示xE和xF；
（2）若C的方程為（如圖），求證：xE•xF是與MN和點P位置無關(guān)的定值；
（3）請選定一條除橢圓外的圓錐曲線C，試探究xE和xF經(jīng)過某種四則運算（加、減、乘、除），其結(jié)果是否是與MN和點P位置無關(guān)的定值，寫出你的研究結(jié)論并證明．

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圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦．若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦．已知點P（x，y）、M（m，n）是圓錐曲線C上不與頂點重合的任意兩點，MN是垂直于x軸的一條垂軸弦，直線MP、NP分別交x軸于點E（xE，0）和點F（xF，0）．
（1）試用x，y，m，n的代數(shù)式分別表示xE和xF；
（2）若C的方程為（如圖），求證：xE•xF是與MN和點P位置無關(guān)的定值；
（3）請選定一條除橢圓外的圓錐曲線C，試探究xE和xF經(jīng)過某種四則運算（加、減、乘、除），其結(jié)果是否是與MN和點P位置無關(guān)的定值，寫出你的研究結(jié)論并證明．

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設(shè)F1、F2分別為橢圓C：數(shù)學(xué)公式的左、右兩個焦點．
（1）若橢圓C上的點A（1，數(shù)學(xué)公式）到F1、F2兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標(biāo)．
（2）已知圓心在原點的圓具有性質(zhì)：若M、N是圓上關(guān)于原點對稱的兩點，點P是圓上的任意一點，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記作KPM、KPN那么KPMKPN=-1．試對橢圓數(shù)學(xué)公式寫出類似的性質(zhì)，并加以證明．

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設(shè)F1、F2分別為橢圓C：的左、右兩個焦點．
（1）若橢圓C上的點A（1，）到F1、F2兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標(biāo)．
（2）已知圓心在原點的圓具有性質(zhì)：若M、N是圓上關(guān)于原點對稱的兩點，點P是圓上的任意一點，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記作KPM、KPN那么KPMKPN=-1．試對橢圓寫出類似的性質(zhì)，并加以證明．

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一、選擇題

 1-6  C  A  B  B   B   D    7-12   B  C  B  B  B  C

二、填空 

 13．  4     14．      15． 2    16．

三、解答題

17．（1）解：由

       有    ……6分

由，  ……8分

由余弦定理

      當(dāng)……12分

∴PB∥平面EFG. ………………………………3分

   （2）解：取BC的中點M，連結(jié)GM、AM、EM，則GM//BD，

所成的角.………………4分

     在Rt△MAE中， ，

     同理，…………………………5分

又GM=，

∴在△MGE中，

………………6分

故異面直線EG與BD所成的角為arccos，………………………………7分

   （3）假設(shè)在線段CD上存在一點Q滿足題設(shè)條件，

∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，

∴AD⊥AB，AD⊥PA.

又AB∩PA=A,

∴AD⊥平面PAB. ……………………………………8分

又∵E，F(xiàn)分別是PA，PD中點，

∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB.

又EF面EFQ，

∴面EFQ⊥面PAB. …………………………………9分

過A作AT⊥ER于T，則AT⊥平面EFQ，

∴AT就是點A到平面EFQ的距離. ……………………………………………10分

設(shè)，

    在， …………………………11分

    解得

    故存在點Q，當(dāng)CQ=時，點A到平面EFQ的距離為0.8. ……………………… 12分

解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，

則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），

    
   
    
    
    
    
    
       （1）證明：
         …………………………1分
        設(shè)，
        即，
        
         ……………2分
        ，
        ∴PB∥平面EFG. …………………………………………………………………… 3分
       （2）解：∵,…………………………………………4分
        ，……………………… 6分
     
    20．（本小題滿分12分）
    解：（1）數(shù)列{an}的前n項和，
                                          …………2分
    又，
                               …………3分
    是正項等比數(shù)列，
     
    ，                                               …………4分
    公比，                                                                                    …………5分
    數(shù)列                                  …………6分
       （2）解法一：，
    由                        …………8分
    ，
    當(dāng)，                                      …………10分
    又
    故存在正整數(shù)M，使得對一切M的最小值為2…………12分
       （2）解法二：，
    令，         …………8分
    由，
    函數(shù)…………10分
    對于
    故存在正整數(shù)M，使得對一切恒成立，M的最小值為2…………12
    21．解：  1）設(shè)橢圓的焦距為2c,因為，所以有，故有。從而橢圓C的方程可化為：     
①                    
………2分
    易知右焦點F的坐標(biāo)為（），
    據(jù)題意有AB所在的直線方程為：   ②                    
………3分
    由①，②有：        
③
    設(shè)，弦AB的中點，由③及韋達(dá)定理有：
     
    所以，即為所求。                                   
………5分
    2）顯然與可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對于這一平面內(nèi)的向量，有且只有一對實數(shù)，使得等式成立。設(shè)，由1）中各點的坐標(biāo)有：
    ，所以
    。                                  
………7分
    又點在橢圓C上，所以有整理為。          
④
    由③有：。所以
       ⑤
    又A?B在橢圓上，故有               
⑥
    將⑤，⑥代入④可得：。                               
………11分
    對于橢圓上的每一個點，總存在一對實數(shù)，使等式成立，而
    在直角坐標(biāo)系中，取點P（），設(shè)以x軸正半軸為始邊，以射線OP為終邊的角為，顯然 。
    也就是：對于橢圓C上任意一點M ，總存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。                                                
………12分
     
    22.  …1分
    在上無極值點      ……………………………2分
    當(dāng)時，令,隨x的變化情況如下表：
    x
    ＋
    0
    －
    遞增
    極大值
    遞減
    從上表可以看出，當(dāng)時，有唯一的極大值點
    （2）解：當(dāng)時，在處取得極大值
    此極大值也是最大值。
    要使恒成立，只需
    的取值范圍是     …………………………………………………8分
    （3）證明：令p=1，由（2）知:
            …………………………………………………………10分
             ……………………………………………14分
    		
    
	
	
    
		
    


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