三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面三條對(duì)角線AB1.BC1.CA1中.AB1⊥BC1.求證:AB1⊥CA1. 證 方法1 如圖.延長(zhǎng)B1C1到D.使C1D＝B1C1.連CD.A1D.因AB1⊥BC1.故AB1⊥CD,又B1C1＝A1C1＝C1D.故∠B1A1D＝90°.于是DA1⊥平面AA1B1B.故AB1⊥平面A1CD.因此AB1⊥A1C. 方法2 如圖.取A1B1.AB的中點(diǎn)D1.P.連CP.C1D1.A1P.D1B.易證C1D1⊥平面AA1B1B.由三垂線定理可得AB1⊥BD1.從而AB1⊥A1D.再由三垂線定理的逆定理即得AB1⊥A1C. 說明 證明本題的關(guān)鍵是作輔助面和輔助線.證明線面垂直常采用下列方法: (1)利用線面垂直的定義,(2)證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線, (3)證明直線平行于平面的垂線,(4)證明直線垂直于與這平面平行的另一平面. 【查看更多】

 

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