函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)m、n有f(m+n)=f(m)+f(n),且當x＞0時有f(x)＞0.

（1）求證：f(x)在（-∞,+∞)上為增函數(shù)；

（2）若f(1)=1,解不等式f［log₂(x²-x-2)］＜2.

函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)m、n有f(m+n)=f(m)+f(n),且當x＞0時有f(x)＞0.

（1）求證：f(x)在（-∞,+∞)上為增函數(shù)；

（2）若f(1)=1,解不等式f［log₂(x²-x-2)］＜2.

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),且對任意正實數(shù)x、y,有f(xy)=f(x)+f(y),已知f(2)=1,且當x＞1時,f(x)＞0.

(1)求證:f()=-1;

(2)判斷f(x)的單調(diào)性;

(3)數(shù)列{a_n}中,a_n＞0,且f(S_n)=f(a_n)+f(a_n+1)-1(n∈N^*),其中S_n是{a_n}的前n項的和,求a_n;

(4)在(3)的條件下,是否存在正常數(shù)M,使得2ⁿ·a₁·a₂·…·a_n≥M(2a₁-1)(2a₂-1)…(2a_n-1)對一切n∈N^*都成立?若存在,求出M的值;若不存在,請說明理由.

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+2lnx，用f′（x）表示f（x）的導(dǎo)函數(shù)，g(x)=(x2-

m2

12

)f′(x)，其中m∈R，且m＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意的x₁、x2∈[

1

3

，1]都有f′（x₁）≤g′（x₂）成立，求m實數(shù)的取值范圍；
（3）試證明：對任意正數(shù)a和正整數(shù)n，不等式[f′（a）]ⁿ-2^n-1f′（aⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）．