如圖，拋物線C₁：x²=2py（p＞0）的焦點為F，橢圓C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，C₁與C₂在第一象限的交點為P（

3

，

1

2

）
（1）求拋物線C₁及橢圓C₂的方程；
（2）已知直線l：y=kx+t（k≠0，t＞0）與橢圓C₂交于不同兩點A、B，點M滿足

AM

+

BM

=

0

，直線FM的斜率為k₁，試證明k•k₁＞

-1

4

．

已知橢圓C：的焦點和上頂點分別為F₁、F₂、B，我們稱△F₁BF₂為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱這兩個橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C₁以拋物線的焦點為一個焦點，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為4．（1）若橢圓C₂與橢圓C₁相似，且相似比為2，求橢圓C₂的方程．
（2）已知點P（m，n）（mn≠0）是橢圓C₁上的任一點，若點Q是直線y=nx與拋物線異于原點的交點，證明點Q一定落在雙曲線4x²-4y²=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C₁相似且短半軸長為b的橢圓為C_b，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線C_b上，若存在求出函數(shù)f（b）=S_ABCD的解析式及定義域，若不存在，請說明理由．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的某個焦點為F，雙曲線G：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的某個焦點為F．
（1）請在上補充條件，使得橢圓的方程為

x2

3

+y2=1；友情提示：不可以補充形如a=

3

，b=1之類的條件．
（2）命題一：“已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，定點P（m，n）滿足n²-2pm＞0，以PF為直徑的圓交y軸于A、B，則直線PA、PB與拋物線相切”．命題中涉及了這么幾個要素：對于任意拋物線P（x，y），定點P，以PF為直徑的圓交F（0，1）軸于A、B，PA、PB與拋物線相切．試類比上述命題分別寫出一個關(guān)于橢圓C和雙曲線G的類似正確的命題；
（3）證明命題一的正確性．