題型1:等比數(shù)列的概念 例1．“公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列 ,“公比為的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列 ,“a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac ,“a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c .以上四個(gè)命題中.正確的有( ) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 解析:四個(gè)命題中只有最后一個(gè)是真命題. 命題1中未考慮各項(xiàng)都為0的等差數(shù)列不是等比數(shù)列, 命題2中可知an+1=an×.an+1<an未必成立.當(dāng)首項(xiàng)a1<0時(shí).an<0.則an>an.即an+1>an.此時(shí)該數(shù)列為遞增數(shù)列, 命題3中.若a=b=0.c∈R.此時(shí)有.但數(shù)列a,b,c不是等比數(shù)列.所以應(yīng)是必要而不充分條件.若將條件改為b=.則成為不必要也不充分條件. 點(diǎn)評:該題通過一些選擇題的形式考察了有關(guān)等比數(shù)列的一些重要結(jié)論.為此我們要注意一些有關(guān)等差數(shù)列.等比數(shù)列的重要結(jié)論. 例2．命題1:若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an+b.則數(shù)列{an}是等比數(shù)列, 命題2:若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn+c.則數(shù)列{an}是等差數(shù)列, 命題3:若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=na-n.則數(shù)列{an}既是等差數(shù)列.又是等比數(shù)列,上述三個(gè)命題中.真命題有( ) A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 解析: 由命題1得.a1=a+b.當(dāng)n≥2時(shí).an=Sn-Sn-1=(a-1)·an-1.若{an}是等比數(shù)列.則=a.即=a.所以只有當(dāng)b=-1且a≠0時(shí).此數(shù)列才是等比數(shù)列. 由命題2得.a1=a+b+c.當(dāng)n≥2時(shí).an=Sn-Sn-1=2na+b-a.若{an}是等差數(shù)列.則a2-a1=2a.即2a-c=2a.所以只有當(dāng)c=0時(shí).數(shù)列{an}才是等差數(shù)列. 由命題3得.a1=a-1.當(dāng)n≥2時(shí).an=Sn-Sn-1=a-1.顯然{an}是一個(gè)常數(shù)列.即公差為0的等差數(shù)列.因此只有當(dāng)a-1≠0,即a≠1時(shí)數(shù)列{an}才又是等比數(shù)列. 點(diǎn)評:等比數(shù)列中通項(xiàng)與求和公式間有很大的聯(lián)系.上述三個(gè)命題均涉及到Sn與an的關(guān)系.它們是an=.正確判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列.都必須用上述關(guān)系式.尤其注意首項(xiàng)與其他各項(xiàng)的關(guān)系.上述三個(gè)命題都不是真命題.選擇A. 題型2:等比數(shù)列的判定 例3．已知數(shù)列{cn}.其中cn＝2n+3n.且數(shù)列{cn+1-pcn}為等比數(shù)列.求常數(shù)p,(Ⅱ)設(shè){an}.{bn}是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列.cn=an+bn.證明數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列. 解析:(Ⅰ)解:因?yàn)閧cn+1-pcn}是等比數(shù)列. 故有:(cn+1-pcn)2＝(cn+2-pcn+1)(cn-pcn-1). 將cn＝2n+3n代入上式.得: ［2n+1+3n+1-p(2n+3n)］2＝［2n+2+3n+2-p(2n+1+3n+1)］·［2n+3n-p(2n-1+3n-1)］. 即［(2-p)2n+(3-p)3n］2 ＝［(2-p)2n+1+(3-p)3n+1］［(2-p)2n-1+(3-p)3n-1］. 整理得(2-p)(3-p)·2n·3n＝0.解得p=2或p=3. (Ⅱ)證明:設(shè){an}.{bn}的公比分別為p.q.p≠q.cn=an+bn. 為證{cn}不是等比數(shù)列只需證c22≠c1·c3. 事實(shí)上.c22＝(a1p+b1q)2＝a12p2+b12q2+2a1b1pq. c1·c3＝(a1+b1)(a1p2+b1q2)＝a12p2+b12q2+a1b1(p2+q2). 由于p≠q.p2+q2＞2pq.又a1.b1不為零. 因此c22≠c1·c3.故{cn}不是等比數(shù)列. 點(diǎn)評:本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì).推理和運(yùn)算能力. 例4．如圖3-1.在邊長為l的等邊△ABC中.圓O1為△ABC的內(nèi)切圓.圓O2與圓O1外切.且與AB.BC相切.-.圓On+1與圓On外切.且與AB.BC相切.如此無限繼續(xù)下去.記圓On的面積為an(n∈N*).證明{an}是等比數(shù)列, 證明:記rn為圓On的半徑.則r1=tan30°=.=sin30°=.所以rn=rn-1(n≥2).于是a1=πr12=.故{an}成等比數(shù)列. 點(diǎn)評:該題考察實(shí)際問題的判定.需要對實(shí)際問題情景進(jìn)行分析.最終對應(yīng)數(shù)值關(guān)系建立模型加以解析. 題型3:等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用 例5．一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng).如果把第二項(xiàng)加上4.那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列.如果再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32.那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列.求原來的等比數(shù)列. 解析:設(shè)所求的等比數(shù)列為a.aq.aq2, 則2=a+aq2.且2=a(aq2+32), 解得a=2.q=3或a=.q=-5, 故所求的等比數(shù)列為2.6,18或.-.. 點(diǎn)評:第一種解法利用等比數(shù)列的基本量.先求公比.后求其它量.這是解等差數(shù)列.等比數(shù)列的常用方法.其優(yōu)點(diǎn)是思路簡單.實(shí)用.缺點(diǎn)是有時(shí)計(jì)算較繁. 例6．已知正項(xiàng)數(shù)列.其前項(xiàng)和滿足且成等比數(shù)列.求數(shù)列的通項(xiàng) 解析:∵10Sn=an2+5an+6. ① ∴10a1=a12+5a1+6.解之得a1=2或a1=3. 又10Sn-1=an-12+5an-1+6.② 由①-②得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1).即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵an+an-1>0 , ∴an-an-1=5 . 當(dāng)a1=3時(shí).a3=13.a15=73.a1, a3,a15不成等比數(shù)列 ∴a1≠3, 當(dāng)a1=2時(shí),.a3=12. a15=72.有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n-3. 點(diǎn)評:該題涉及等比數(shù)列的求和公式與等比數(shù)列通項(xiàng)之間的關(guān)系.最終求得結(jié)果. 題型4:等比數(shù)列的求和公式及應(yīng)用 例7．在等比數(shù)列中,,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列.則等于( ) A． B． C． D． 設(shè).則等于( ) A． B． C． D． 設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S3+S6＝2S9.求數(shù)列的公比q,解析:(1)因數(shù)列為等比.則.因數(shù)列也是等比數(shù)列. 則 即.所以.故選擇答案C. (2)D, (3)解:若q=1.則有S3=3a1.S6=6a1.S9=9a1. 因a1≠0.得S3+S6≠2S9.顯然q=1與題設(shè)矛盾.故q≠1. 由S3+S6=2S9.得.整理得q3(2q6-q3-1)=0.由q≠0.得2q6-q3-1=0.從而(2q3+1)(q3-1)=0.因q3≠1.故q3=-.所以q=-. 點(diǎn)評:對于等比數(shù)列求和問題要先分清數(shù)列的通項(xiàng)公式.對應(yīng)好首項(xiàng)和公比求出最終結(jié)果即可. 例8．設(shè){an}為等差數(shù)列.{bn}為等比數(shù)列.a1＝b1＝1.a2+a4＝b3.b2b4＝a3．分別求出{an}及{bn}的前10項(xiàng)的和S10及T10, (2)(2001全國春季北京.安徽.20)在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a1.a2.a3--.an.使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b1.b2.b3.--.bn.使這n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記An＝a1a2a3--an.Bn＝b1+b2+b3+--+bn. (Ⅰ)求數(shù)列{An}和{Bn}的通項(xiàng), (Ⅱ)當(dāng)n≥7時(shí).比較An與Bn的大小.并證明你的結(jié)論. 已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列.滿足a1＝0.a2＝3. an+1an＝(an-1+2)(an-2+2).n＝3.4.5.-． (Ⅰ)求a3, (Ⅱ)證明an＝an-2+2.n＝3.4.5.-, (Ⅲ)求{an}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Sn. 解析:(1)∵{an}為等差數(shù)列.{bn}為等比數(shù)列. ∴a2+a4＝2a3.b2b4＝b32． 已知a2+a4＝b3.b2b4＝a3. ∴b3＝2a3.a3＝b32． 得 b3＝2b32． ∵b3≠0 ∴b3＝.a3＝． 由a1＝1.a3＝知{an}的公差為d＝. ∴S10＝10a1+． 由b1＝1.b3＝知{bn}的公比為q＝或q＝． 當(dāng)q＝時(shí).. 當(dāng)q＝時(shí).. 設(shè)公比為q.公差為d.等比數(shù)列1.a1.a2.--.an.2.等差數(shù)列1.b1.b2.--.bn.2. 則A1＝a1＝1·q A2＝1·q·1·q2 A3＝1·q·1·q2·1·q3 又∵an+2＝1·qn+1＝2得qn+1＝2. An＝q·q2-qn＝q(n＝1.2.3-) 又∵bn+2＝1+(n+1)d＝2 ∴(n+1)d＝1 B1＝b1＝1+d B2＝b2+b1＝1+d+1+2d Bn＝1+d+-+1+nd＝n (Ⅱ)An＞Bn.當(dāng)n≥7時(shí) 證明:當(dāng)n＝7時(shí).23．5＝8·＝An Bn＝×7.∴An＞Bn 設(shè)當(dāng)n＝k時(shí).An＞Bn.則當(dāng)n＝k+1時(shí). 又∵Ak+1＝· 且Ak＞Bk ∴Ak+1＞·k ∴Ak+1-Bk+1＞ 又∵k＝8.9.10- ∴Ak+1-Bk+1＞0.綜上所述.An＞Bn成立. 解:由題設(shè)得a3a4＝10.且a3.a4均為非負(fù)整數(shù).所以a3的可能的值為1.2.5.10． 若a3＝1.則a4＝10.a5＝.與題設(shè)矛盾． 若a3＝5.則a4＝2.a5＝.與題設(shè)矛盾． 若a3＝10.則a4＝1.a5＝60.a6＝.與題設(shè)矛盾. 所以a3＝2. (Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明: ①當(dāng)n＝3.a3＝a1+2.等式成立, ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3)時(shí)等式成立.即ak＝ak-2+2,由題設(shè)ak+1ak＝(ak-1+2)·(ak-2+2).因?yàn)閍k＝ak-2+2≠0.所以ak+1＝ak-1+2. 也就是說.當(dāng)n＝k+1時(shí).等式ak+1＝ak-1+2成立, 根據(jù)①和②.對于所有n≥3.有an+1=an-1+2. (Ⅲ)解:由a2k-1＝a2(k-1)-1+2.a1＝0.及a2k＝a2(k-1)+2.a2＝3得a2k-1＝2(k-1).a2k＝2k+1.k＝1.2.3.-.即an＝n+(-1)n.n＝1.2.3.-. 所以Sn＝ 點(diǎn)評:本小題主要考查數(shù)列與等差數(shù)列前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí).以及準(zhǔn)確表述.分析和解決問題的能力. 題型5:等比數(shù)列的性質(zhì) 例9．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中.首項(xiàng)a1＝3.前三項(xiàng)和為21.則a3+a4+a5＝( ) 72 189 在等差數(shù)列{an}中.若a10＝0.則有等式a1+a2+-+an=a1+a2+-+a19-n(n＜19.n∈N成立.類比上述性質(zhì).相應(yīng)地:在等比數(shù)列{bn}中.若b9＝1.則有等式 成立. 解析:(1)答案:C,解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.由題意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0.求得q=2.所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4故選C. (2)答案:b1b2-bn＝b1b2-b17-n(n＜17.n∈N*), 解:在等差數(shù)列{an}中.由a10＝0.得a1+a19＝a2+a18＝-＝an+a20-n＝an+1+a19-n＝2a10＝0. 所以a1+a2+-+an+-+a19＝0.即a1+a2+-+an＝-a19-a18---an+1. 又∵a1＝-a19.a2＝-a18.-.a19-n＝-an+1 ∴a1+a2+-+an＝-a19-a18---an+1＝a1+a2+-+a19-n. 若a9＝0.同理可得a1+a2+-+an＝a1+a2+a17-n. 相應(yīng)地等比數(shù)列{bn}中.則可得:b1b2-bn＝b1b2-b17-n(n＜17.n∈N*). 點(diǎn)評:本題考查了等比數(shù)列的相關(guān)概念及其有關(guān)計(jì)算能力. 例10．(1)設(shè)首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列.它的前n項(xiàng)和為80.前2n項(xiàng)和為6560.且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54.求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比q. (2)在和之間插入n個(gè)正數(shù).使這個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列.求所插入的n個(gè)數(shù)之積. (3)設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù).項(xiàng)數(shù)是偶數(shù).它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍.且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍.問數(shù)列{lgan}的前多少項(xiàng)和最大?(lg2=0 3,lg3=0.4) 解析:(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.依題意設(shè):a1＞0.Sn=80 .S2n=6560. ∵S2n≠2Sn .∴q≠1, 從而 =80.且=6560. 兩式相除得1+qn=82 .即qn=81. ∴a1=q-1＞0 即q＞1,從而等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.故前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為第n項(xiàng). ∴a1qn-1=54,從而(q-1)qn-1=qn-qn-1=54. ∴qn-1=81-54=27 ∴q==3. ∴a1=q-1=2 故此數(shù)列的首為2.公比為3. (2)解法1:設(shè)插入的n個(gè)數(shù)為.且公比為q. 則 . 解法2:設(shè)插入的n個(gè)數(shù)為. . (3)解法一 設(shè)公比為q,項(xiàng)數(shù)為2m,m∈N*. 依題意有:. 化簡得. 設(shè)數(shù)列{lgan}前n項(xiàng)和為Sn. 則Sn=lga1+lga1q2+-+lga1qn-1=lga1n·q1+2+-+(n-1) =nlga1+n(n-1)·lgq=n-n(n-1)lg3 =(-)·n2+(2lg2+lg3)·n 可見.當(dāng)n=時(shí).Sn最大. 而=5,故{lgan}的前5項(xiàng)和最大. 解法二 接前.,于是lgan=lg［108()n-1］=lg108+(n-1)lg. ∴數(shù)列{lgan}是以lg108為首項(xiàng).以lg為公差的等差數(shù)列. 令lgan≥0.得2lg2-(n-4)lg3≥0. ∴n≤=5.5. 由于n∈N*,可見數(shù)列{lgan}的前5項(xiàng)和最大. 點(diǎn)評:第一種解法利用等比數(shù)列的基本量.先求公比.后求其它量.這是解等差數(shù)列.等比數(shù)列的常用方法.其優(yōu)點(diǎn)是思路簡單.實(shí)用.缺點(diǎn)是有時(shí)計(jì)算較繁,第二種解法利用等比數(shù)列的性質(zhì).與“首末項(xiàng)等距 的兩項(xiàng)積相等.這在解題中常用到. 題型6:等差.等比綜合問題 例11．已知公比為的無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為9.無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為. (Ⅰ)求數(shù)列的首項(xiàng)和公比, (Ⅱ)對給定的.設(shè)是首項(xiàng)為.公差為的等差數(shù)列．求數(shù)列的前10項(xiàng)之和. 解析:(Ⅰ)依題意可知:. 知,.所以數(shù)列的的首項(xiàng)為,公差.,即數(shù)列的前10項(xiàng)之和為155. 點(diǎn)評:對于出現(xiàn)等差.等比數(shù)列的綜合問題.一定要區(qū)分開各自的公式.不要混淆. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（2010•武漢模擬）“數(shù)列{an}為等比數(shù)列”是“數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列”的（　�。�

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給出下列四個(gè)命題：
（1）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和可能為零；
（2）對k∈R，直線y-kx-1=0與橢圓
x2
5
+
y2
m
=1恒有公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥1
（3）向量
a
=(x2，x+1)，
b
=(1-x，t)，若函數(shù)f（x）=
a
-
b
在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（5，+∞）；
（4）我們定義非空集合A的真子集的真子集為A的“孫集”，則集合{2，4，6，8，10}的“孫集”有26個(gè)．
其中正確的命題有
 
（填番號(hào)）

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給出下列命題：
（1）“數(shù)列{an}為等比數(shù)列”是“數(shù)列{anan+1}為等比數(shù)列”的充分不必要條件；
（2）“a=2”是“函數(shù)f（x）=|x-a|在區(qū)間[2，+∞）為增函數(shù)”的充要條件；
（3）“m=3”是“直線（m+3）x+my-2=0與直線mx-6y+5=0相互垂直”的充要條件；
（4）設(shè)a，b，c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a=1．b=
3
，則“A=30°”是“B=60°”的必要不充分條件．
其中真命題的序號(hào)是
（1）（4）
（1）（4）
（寫出所有真命題的序號(hào)）

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給出以下命題
（1）x∈(0，
π
2
)時(shí)，函數(shù)y=sinx+
2
sinx
的最小值為2
2
；
（2）若f（x）是奇函數(shù)，則f（x-1）的圖象關(guān)于A（1，0）對稱；
（3）“數(shù)列{an}為等比數(shù)列”是“數(shù)列{anan+1}為等比數(shù)列的充分不必要條件；
（4）若函數(shù)f（x）=log3（-x2+2mx-m2+36）在區(qū)間[-3，2）上是減函數(shù)，則m≤-3；
其中正確命題的序號(hào)是
（2）（3）
（2）（3）
．

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已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}的首項(xiàng)分別為1，2，等差數(shù)列的公差為1，等比數(shù)列的公比為2：
（1）求{an}，{bn}的通項(xiàng)；
（2）若cn=anbn求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．

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